Связь между потенциальной энергией и силой для консервативного поля

Взаимодействие частицы с окружающими телами можно описать либо с помощью сил либо с помощью потенциальной энергией. Первый способ более общий, т.к. он применим и к силам, для которых нельзя ввести понятие потенциальной энергии (силы трения). Второй способ удобен тем, что существует связь между потенциальной энергией и силой со стороны поля. Зная эту связь, можно по виду зависимости — функции положения частицы в поле, находить поле сил .

Найдем эту связь. Известно, что работа консервативных сил при перемещении частицы из одной точки статического поля в другую может быть представлена в виде убыли потенциальной энергии частицы . Это можно записать и для элементарного перемещения .

т.к. ; — элементарный путь или ; — убыль потенциальной энергии в направлении перемещения ; отсюда: т.е. проекция силы поля в данной точке на направление перемещения равна убыли потенциальной энергии в этом направлении. Символ указывает, что произведение берется по определенному направлению. Перемещение можно брать в любом направлении, например вдоль осей . Если вдоль то ; а , — проекция силы на орт (а не на перемещение , как в случае ). Т.о. относительно оси можно записать . Символ означает, что при дифференцировании должна расти как функция одного аргумента , а остальные аргументы — . Значит ; . Зная проекции можно найти и сам вектор или . Скобка называется градиент скалярной функции , и обозначается или т.о. — символический вектор или оператор Гамильтона. — формально можно рассматривать как произведение символического вектора на скаляр т.е. сила действующая со стороны поля на частицу равна со знаком минус градиент потенциальной энергии частицы в данной тоске поля. Т.о. зная можно найти .