Способы задания движения точки. Для задания движения точки можно применять один из следующих трех способов: 1) векторный, 2) координатный

 

Для задания движения точки можно применять один из следующих трех способов: 1) векторный, 2) координатный, 3) естественный.

1. Векторный способ задания движения точки. Пусть точка М движется по отношению к некоторой системе отсчета Oxyz. Положение этой точки в любой момент времени можно определить, задав ее радиус-вектор , проведенный из начала координат О в точку М (рис. 12).

При движении точки М вектор будет с течением времени изменяться и по модулю, и по направлению. Следовательно, является переменным вектором (вектором-функцией), зависящим от аргумента t:

.

 

Данное равенство определяет закон движения точки в векторной форме, так как оно позволяет в любой момент времени построить соответствующий вектор и найти положение движущейся точки.

Геометрическое место концов вектора , т. е. годограф этого вектора, определяет траекторию движущейся точки.

Аналитически вектор задается его проекциями на координатные оси. В прямоугольных декартовых координатах для вектора будет: r_x = x, r_y = y, r_z = z (см. рис. 12), где х, у, z – декартовы координаты точки. Тогда, если ввести единичные векторы (орты) , , координатных осей, получим для выражение

 

.

Рис. 12

Следовательно, зависимость (t) будет известна, если будут заданы координаты х, у, z точки как функции времени. Вектор может быть задан и иными способами, например его модулем и углами с осями или проекциями на оси других систем координат. 2. Координатный способ задания движения точки. Положение точки можно непосредственно определять ее

декартовыми координатами х, у, z, которые при движении точки будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон движения точки, т. е. ее положение в пространстве в любой момент времени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т. е. знать зависимости

x = f ₁(t), y = f ₂(t), z = f ₃(t).

 

Данные три уравнения представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения.

3. Естественный способ задания движения точки. Естественным (или траекторным) способом задания движения удобно пользоваться в тех случаях, когда траектория движущейся точки известна заранее. Пусть кривая АВ является траекторией точки М при ее движении относительно системы отсчета Oxyz (рис. 13). Выберем на этой траектории какую-нибудь неподвижную точку О ', которую примем за начало отсчета, и установим на траектории положительное и отрицательное направления отсчета (как на оси координат. Тогда положение точки М на траектории будет однозначно определяться криволинейной координатой s, которая равна расстоянию от точки О ' до точки М, измеренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком. При движении точка М перемещается в положения M ₁, М ₂,..., следовательно, расстояние s будет с течением времени изменяться. Чтобы знать положение точки М на траектории в любой момент времени, надо знать зависимость s = f (t), которая выражает закон движения точки М вдоль траектории.

 

Таким образом, чтобы задать движение точки естественным способом, надо задать: 1) траекторию точки; 2) начало отсчета на траектории с указанием положительного и отрицательного направлений отсчета; 3) закон движения точки вдоль траектории в виде s = f (t).

Рис. 13