Описание установки и метода измерений. Под математическим маятником понимают идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нитиПод математическим маятником понимают идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. В данной работе в качестве математического маятника исполь-зуется массивный свинцовый шарик, подвешенный на двух расходящихся нитях (рис. 10.2). Длину маятника можно изменять, наматывая нить на ось. Когда маятник отклонен от положения равновесия на угол a (рис. 10.3), силу тяжести , действующую на него, можно разложить на две составляющие: , направленную вдоль нити, и , направленную перпендикулярно нити. Составляющая силы тяжести уравновешивается силой натяжения нити , а составляющая остается неуравновешенной. Она возвращает шарик в положение равновесия. Из рисунка видно, что . Если угол a мал, то sina примерно равен самому углу a, измеренному в радианах. Т. е. a = х / , и сила, возвращающая маятник в положение равновесия, , (10.4) где х – смещение шарика от положения равновесия, – длина нити маятника, знак ² –² показывает, что сила направлена к положению равновесия. Теперь запишем II закон Ньютона для маятника: , (10.5) где – вторая производная от смещения по времени, представляющая собой ускорение маятника. Введя обозначение , (10.6) уравнение (10.5) можно переписать в виде . (10.7) Из уравнения (10.7) следует (это легко проверить подстановкой), что смещение шарика представляет собой следующую функцию времени: , (10.8) где А и j0– постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями. Итак, при малых отклонениях маятник движется по закону косинуса (или синуса), т. е. совершает гармоническое колебательное движение. Проанализировав уравнения (10.8), находим, что А – амплитуда колебаний (максимальное отклонение от положения равновесия), j0 – начальная фаза колебаний (определяет смещение в момент времени t = 0), – циклическая (или круговая) частота, связанная с периодом колебаний Т соотношением: . (10.9) С учетом введенного выше обозначения (10.6) получаем формулу периода гармонических колебаний математического маятника . (10.10) С помощью (10.10) можно определить ускорение свободного падения в данной точке Земли . (10.11) Точность измерения g зависит, главным образом, от точности измерения его длины, так как трудно определить положение центра масс маятника. Период колебаний маятника легко измерить на опыте, определив время t, за которое маятник совершает n колебаний: . (10.12)
|