Линеаризация нелинейных уравнений методом последовательных приближений
Общий метод решения этой задачи основан на допущении, что несовместность условных уравнений невелика, т.е. их невязки малы. Тогда, взяв из условной системы столько уравнений, сколько в ней неизвестных, их решением находим начальные оценки неизвестных . Полагая далее, что подставляя эти выражения в условные уравнения, раскладываем условные уравнения в ряды. Сохраняя лишь члены с первыми степенями поправок получим
Переписав полученное выражение в виде
,
можно видеть, что мы получили условную систему линейных уравнений относительно поправок . Решение этой системы с помощью МНК
дает нам их оценки и СКО. Тогда Поскольку - неслучайные величины, то S2( ) = S2 (). Получив оценки можно сделать второе приближение и т.д.
Рисунок 6.1 - Графики аппроксимирующих функций
уравнения, раскладываем условные уравнения в ряды. Сохраняя лишь члены с первыми степенями поправок получим
Переписав полученное выражение в виде
,
можно видеть, что мы получили условную систему линейных уравнений относительно поправок . Решение этой системы с помощью МНК
дает нам их оценки и СКО. Тогда Поскольку - неслучайные величины, то S2( ) = S2 (). Получив оценки можно сделать второе приближение и т.д.
6.2 Пример выполнения контрольного задания
6.2.1 Задание
Определите вид и параметры функциональной зависимости Y=f(x, a0 a1), аппроксимирующей экспериментальную зависимость, приведенную в табл. 6.1. С доверительной вероятностью Р = 0, 95 найдите границы погрешности и определения параметров a0 и А1 функции.
6.2.2 Выполнение задания
1. Строим экспериментальную зависимость (рис. 6.2) и по ее виду, пользуясь рис. 6.1, задаем предполагаемый функциональный вид зависимости
Рисунок 6.2 - Экспериментальная зависимость
2. Поскольку эта зависимость нелинейная, необходимо привести ее клинейной. Для этого воспользуемся приемом линеаризации (см. п.п. 6.1.3). Вводя замену переменной , получаем .
Значения х* приведены в табл. 6.1.
Строим график полученной зависимости Y = /(**) (рис. 6.3) и убеждаемся в его линейности, т.е. вид функциональной зависимости задан правильно.
3. Определим параметры a0 и А1 зависимости (6.16) методом наименьших квадратов. Для этого находим значения сумм Гаусса: .
Нормальная система уравнений имеет вид
416, 2 = 20 +42, 3
982, 9 = 42, З + 102, 16
Таблица 6.1.
Экспериментальные и линеаризованные зависимости
x
| Y
| x*
| d
| Yопр
|
| 3.62
|
| 4.18*10-5
| 3.6200
|
| 9.25
| 0.6931
| -1.4018*10-3
| 9.2489
|
| 12.54
| 1.0986
| 1.6*10-3
| 12.5417
|
| 14.88
| 1.3863
| -2.033*10-3
| 14.8779
|
| 16.69
| 1.6094
| -2.73*10-4
| 16.6900
|
| 18.17
| 1.7918
| 9.69*10-4
| 18.1706
|
| 19.42
| 1.9459
| 2.391*10-3
| 19.4225
|
| 20.51
| 2.0794
| -3.477*10-3
| 20.5068
|
| 21.46
| 2.1972
| 3.159*10-3
| 21.4634
|
| 22.32
| 2.3026
| -9.04*10-4
| 22.3189
|
| 23.09
| 2.3979
| 3.012*10-3
| 23.2929
|
| 23.80
| 2.4849
| -4.75*10-4
| 23.7996
|
| 24.45
| 2.5649
| -8.07*10-4
| 24.4498
|
| 25.05
| 2.6391
| 1.759*10-3
| 25.0514
|
| 25.61
| 2.7080
| 1.285*10-3
| 25.6117
|
| 26.14
| 2.7726
| -4.108*10-3
| 26.1358
|
| 26.63
| 2.8332
| -1.173*10-2
| 26.6281
|
| 27.09
| 2.8904
| 2.527*10-3
| 27.0983
|
| 27.53
| 2.9444
| 1.053*10-3
| 27.5314
|
| 27.95
| 2.9957
| -2.348*10-3
| 27.5479
|
Рисунок 6.3 - Линеаризованная зависимость
По формулам (6. 17)-(6.19), находим =3, 6200418; =8, 1208432.
Подставляя оценки , в условную систему уравнений, получаем значения невязок , по формуле
Значения рассчитанных невязок приведены в табл. 6. 1.
4. Для определения оценок среднеквадратического отклонения , воспользуемся выражениями (6.20)-(6.21)
;
;
.
Для определения границ погрешностей нахождения , воспользуемся выражением (6.22), для чего по табл. Б.5 для числа степеней свободы п -т -1=18, находим для заданной вероятности Р д=0, 95
В этом случае , .
6.3 Варианты контрольных заданий
Таблица 6.2
Варианты 1, 8, 15, 22, 29, 36, 43 ()
x
| 1)P=0.9
| 8)P=0.95
| 15)P=0.99
| 22)P=0.9
| 29)P=0.95
| 36)P=0.99
| 43)P=0.9
|
| 10.4
| 15.7
| 32.0
| 38.8
| 14.8
| 4.02
| 4.13
|
| 11.7
| 21.9
| 46.7
| 58.3
| 23.7
| 6.89
| 4.76
|
| 12.9
| 28.0
| 61.4
| 77.8
| 32.7
| 9.76
| 5.41
|
| 14.2
| 34.1
| 76.2
| 97.3
| 41.6
| 12.62
| 6.06
|
| 15.4
| 40.2
| 90.9
| 116.8
| 50.6
| 15.49
| 6.71
|
| 16.7
| 41.3
| 105.7
| 136.2
| 59.5
| 18.35
| 7.33
|
| 17.9
| 52.5
| 120.4
| 155.7
| 68.5
| 21.22
| 7.97
|
| 19.2
| 58.6
| 135.1
| 175.2
| 77.4
| 24.09
| 8.62
|
| 20.4
| 64.7
| 149.9
| 194.7
| 86.4
| 26.95
| 9.26
|
| 21.7
| 70.8
| 164.6
| 214.2
| 95.4
| 29.82
| 9.91
|
| 22.9
| 77.0
| 179.4
| 233.7
| 104.3
| 32.69
| 10.54
|
| 24.9
| 83.1
| 194.1
| 253.1
| 113.3
| 35.56
| 11.17
|
| 25.4
| 89.2
| 208.8
| 272.6
| 122.2
| 38.43
| 11.82
|
| 26.7
| 95.3
| 223.6
| 292.1
| 132.2
| 41.31
| 12.46
|
| 27.9
| 101.5
| 238.3
| 311.6
| 140.2
| 44.16
| 13.1
|
| 29.1
| 107.6
| 253.1
| 331.1
| 149.1
| 47.02
| 13.73
|
| 30.4
| 113.7
| 267.8
| 350.6
| 158.1
| 49.89
| 14.40
|
| 31.6
| 119.8
| 282.5
| 370.0
| 167.0
| 52.76
| 15.04
|
| 32.9
| 125.9
| 297.3
| 389.5
| 176.0
| 55.63
| 15.67
|
| 34.1
| 132.1
| 312.0
| 409.0
| 184.9
| 58.49
| 16.31
| Таблица 6.3
Варианты 2, 9, 16, 23, 30, 37, 44 ()
x
| 2)P=0.9
| 9)P=0.95
| 16)P=0.99
| 23)P=0.9
| 30)P=0.95
| 37)P=0.99
| 44)P=0.9
|
| 0, 538
| 0, 38
| 1, 53
| 2, 00
| 3, 20
| 1, 91
| 37, 22
|
| 0, 547
| 0, 91
| 1, 80
| 2, 04
| 7, 37
| 2, 25
| 27, 87
|
| 0, 552
| 1, 51
| 1, 98
| 2, 07
| 12, 0
| 2, 65
| 20, 86
|
| 0, 556
| 2, 15
| 2, 12
| 2, 09
| 16, 95
| 3, 12
| 15, 62
|
| 0, 558
| 2, 84
| 2, 23
| 2, 11
| 22, 17
| 3, 67
| 11, 69
|
| 0, 561
| 3, 55
| 2, 33
| 2, 12
| 27, 60
| 4, 32
| 8, 75
|
| 0, 563
| 4, 30
| 2, 42
| 2, 13
| 33, 23
| 5, 08
| 6, 65
|
| 0, 564
| 5, 07
| 2, 50
| 2, 14
| 39, 01
| 5, 98
| 4, 91
|
| 0, 566
| 5, 87
| 2, 57
| 2, 15
| 44, 98
| 7, 04
| 3, 67
|
| 0, 567
| 6, 08
| 2, 63
| 2, 15
| 51, 01
| 8, 27
| 2, 75
|
| 0, 569
| 7, 62
| 2, 69
| 2, 16
| 57, 21
| 9, 73
| 2, 06
|
| 0, 570
| 8, 32
| 2, 75
| 2, 17
| 63, 51
| 11, 45
| 1, 55
|
| 0, 571
| 9, 24
| 2, 80
| 2, 17
| 69, 93
| 13, 47
| 1, 15
|
| 0, 572
| 10, 13
| 2, 85
| 2, 18
| 76, 45
| 15, 85
| 0, 86
|
| 0, 573
| 11, 03
| 2, 90
| 2, 18
| 83, 06
| 18, 64
| 0, 65
|
| 0, 574
| 11, 94
| 2, 94
| 2, 19
| 89, 76
| 21, 93
| 0, 48
|
| 0, 574
| 12, 87
| 2, 98
| 2, 19
| 96, 54
| 25, 80
| 0, 36
|
| 0, 575
| 13, 81
| 3, 03
| 2, 19
| 103, 41
| 30, 35
| 0, 26
|
| 0, 576
| 14, 77
| 3, 06
| 2, 20
| 110, 35
| 35, 70
| 0, 2
|
| 0, 577
| 15, 73
| 3, 10
| 2, 20
| 117, 37
| 42, 00
| 0, 15
| Таблица 6.4
Варианты 3, 10, 17, 24, 31, 38, 45 ()
x
| 3)P=0.9
| 10)P=0.95
| 17)P=0.99
| 24)P=0.9
| 31)P=0.95
| 38)P=0.99
| 45)P=0.9
|
| 8, 45
| 6, 25
| 2, 71
| 2, 10
| 1, 54
| 0, 47
| 6, 11
|
| 9, 10
| 6, 79
| 2, 99
| 2, 33
| 1, 72
| 1, 67
| 9, 59
|
| 9, 81
| 7, 37
| 3, 29
| 3, 58
| 1, 93
| 3, 51
| 12, 48
|
| 10, 57
| 8, 00
| 3, 63
| 2, 86
| 2, 16
| 6, 02
| 15, 05
|
| 11, 39
| 8, 69
| 4, 00
| 3, 17
| 2, 42
| 9, 05
| 17, 39
|
| 12, 28
| 9, 44
| 4, 41
| 3, 51
| 2, 71
| 12, 72
| 19, 58
|
| 13, 23
| 10, 24
| 4, 86
| 3, 89
| 3, 03
| 16, 92
| 21, 64
|
| 14, 26
| 11, 12
| 5, 35
| 4, 31
| 3, 39
| 21, 65
| 23, 60
|
| 15, 37
| 12, 08
| 5, 90
| 4, 78
| 3, 80
| 26, 87
| 25, 48
|
| 16, 56
| 13, 11
| 6, 50
| 5, 30
| 4, 25
| 32, 66
| 27, 28
|
| 17, 85
| 14, 24
| 7, 17
| 5, 78
| 4, 76
| 38, 97
| 29, 03
|
| 19, 24
| 15, 46
| 7, 90
| 6, 51
| 5, 32
| 45, 73
| 30, 71
|
| 20, 73
| 16, 78
| 8, 70
| 7, 21
| 5, 96
| 53, 05
| 32, 35
|
| 22, 35
| 18, 22
| 9, 59
| 7, 99
| 6, 67
| 60, 83
| 33, 95
|
| 24, 08
| 19, 78
| 10, 57
| 8, 86
| 7, 49
| 69, 09
| 35, 50
|
| 25, 95
| 21, 48
| 11, 65
| 9, 82
| 8, 36
| 77, 84
| 37, 02
|
| 27, 97
| 23, 32
| 12, 84
| 10, 88
| 9, 36
| 87, 07
| 38, 51
|
| 30, 14
| 25, 32
| 14, 16
| 12, 06
| 10, 48
| 96, 76
| 39, 97
|
| 32, 49
| 27, 49
| 15, 60
| 13, 37
| 11, 73
| 106, 93
| 41, 40
|
| 35, 01
| 29, 84
| 17, 20
| 14, 82
| 13, 13
| 117, 56
| 42, 80
| Таблица 6.5
Варианты 4, 11, 18, 25, 32, 39, 46 ()
x
| 4)P=0.9
| 11)P=0.95
| 18)P=0.99
| 25)P=0.9
| 32)P=0.95
| 39)P=0.99
| 46)P=0.9
|
| 10, 72
| 21, 90
| 18, 64
| 13, 03
| 10, 36
| 1, 63
| 15, 98
|
| 8, 95
| 13, 69
| 13, 24
| 10, 62
| 9, 06
| 1, 71
| 13, 15
|
| 7, 68
| 9, 96
| 10, 27
| 8, 96
| 8, 05
| 1, 79
| 11, 18
|
| 6, 72
| 7, 82
| 8, 39
| 7, 74
| 7, 24
| 1, 88
| 9, 72
|
| 5, 98
| 6, 44
| 7, 09
| 6, 82
| 6, 58
| 1, 98
| 8, 59
|
| 5, 39
| 5, 48
| 6, 14
| 6, 10
| 6, 03
| 2, 09
| 7, 01
|
| 4, 90
| 4, 76
| 5, 41
| 5, 51
| 5, 57
| 2, 22
| 6, 98
|
| 4, 49
| 4, 21
| 4, 84
| 5, 03
| 5, 17
| 2, 36
| 6, 38
|
| 4, 15
| 3, 78
| 4, 38
| 4, 62
| 4, 83
| 2, 52
| 5, 88
|
| 3, 85
| 3, 42
| 4, 00
| 4, 28
| 4, 52
| 2, 71
| 5, 45
|
| 3, 60
| 3, 13
| 3, 68
| 3, 98
| 4, 26
| 2, 92
| 5, 08
|
| 3, 37
| 2, 88
| 3, 40
| 3, 72
| 4, 02
| 3, 17
| 4, 75
|
| 3, 17
| 2, 67
| 3, 17
| 3, 49
| 3, 81
| 3, 46
| 4, 47
|
| 3, 00
| 2, 49
| 2, 96
| 3, 29
| 3, 62
| 3, 82
| 4, 22
|
| 2, 84
| 2, 33
| 2, 78
| 3, 11
| 3, 45
| 4, 27
| 3, 99
|
| 2, 70
| 2, 19
| 2, 62
| 2, 95
| 3, 29
| 4, 82
| 3, 79
|
| 2, 57
| 2, 07
| 2, 48
| 2, 81
| 3, 15
| 5, 54
| 3, 60
|
| 2, 45
| 1, 96
| 2, 35
| 2, 68
| 3, 02
| 6, 52
| 3, 44
|
| 2, 35
| 1, 86
| 2, 24
| 2, 56
| 2, 89
| 7, 91
| 3, 29
|
| 2, 25
| 1, 77
| 2, 13
| 2, 45
| 2, 78
| 10, 05
| 3, 15
|
Таблица 6.6
Варианты 5, 12, 19, 26, 33, 40, 47 ()
x
| 5)P=0.9
| 12)P=0.95
| 19)P=0.99
| 26)P=0.9
| 33)P=0.95
| 40)P=0.99
| 47)P=0.9
|
| 0, 229
| 0, 0818
| 0, 0381
| 1, 1104
| 133, 1
| 2, 59
| 0, 17
|
| 0, 284
| 0, 09558
| 0, 0480
| 1, 1464
| 174, 1
| 4, 88
| 0, 35
|
| 0, 304
| 0, 1015
| 0, 0526
| 1, 1589
| 194, 1
| 6, 91
| 0, 56
|
| 0, 322
| 0, 1047
| 0, 0552
| 1, 1653
| 205, 7
| 8, 74
| 0, 78
|
| 0, 331
| 0, 1066
| 0, 0569
| 1, 1692
| 213, 7
| 10, 37
| 1, 04
|
| 0, 338
| 0, 1080
| 0, 0581
| 1, 1717
| 219, 2
| 11, 85
| 1, 33
|
| 0, 342
| 0, 1090
| 0, 0590
| 1, 1736
| 223, 3
| 13, 20
| 1, 65
|
| 0, 346
| 0, 1098
| 0, 0597
| 1, 1750
| 226, 5
| 14, 43
| 2, 03
|
| 0, 349
| 0, 1104
| 0, 0602
| 1, 1761
| 229, 1
| 15, 56
| 2, 46
|
| 0, 351
| 0, 1108
| 0, 0610
| 1, 1769
| 231, 2
| 16, 59
| 2, 97
|
| 0, 353
| 0, 1112
| 0, 0613
| 1, 1777
| 232, 9
| 17, 55
| 3, 57
|
| 0, 355
| 0, 1116
| 0, 0616
| 1, 1782
| 234, 4
| 18, 43
| 4, 29
|
| 0, 356
| 0, 1119
| 0, 0618
| 1, 1787
| 235, 6
| 19, 26
| 5, 18
|
| 0, 357
| 0, 1121
| 0, 0620
| 1, 1792
| 236, 7
| 20, 02
| 6, 29
|
| 0, 358
| 0, 1123
| 0, 0622
| 1, 1796
| 237, 6
| 20, 73
| 7, 75
|
| 0, 359
| 0, 1125
| 0, 0624
| 1, 1799
| 238, 5
| 21, 40
| 9, 69
|
| 0, 360
| 0, 1127
| 0, 0625
| 1, 1802
| 239, 2
| 22, 03
| 12, 47
|
| 0, 361
| 0, 1128
| 0, 0626
| 1, 1804
| 239, 9
| 22, 62
| 16, 71
|
| 0, 361
| 0, 1130
| 0, 0627
| 1, 1807
| 240, 9
| 23, 99
| 24, 04
|
| 0, 362
| 0, 1131
| 0, 0628
| 1, 1809
| 241, 1
| 23, 69
| 39, 69
| Таблица 6.7
Варианты 6, 13, 20, 27, 34, 41, 48 ()
x
| 6)P=0.9
| 13)P=0.95
| 20)P=0.99
| 27)P=0.9
| 34)P=0.95
| 41)P=0.99
| 48)P=0.9
|
| 19, 35
| 1, 550
| 10, 383
| 1, 452
| 15, 155
| 3, 49
| 5, 14
|
| 32, 68
| 2, 760
| 18, 324
| 14, 785
| 15, 850
| 14, 22
| 13, 36
|
| 40, 48
| 3, 469
| 22, 969
| 22, 585
| 16, 257
| 20, 49
| 18, 17
|
| 46, 02
| 3, 972
| 26, 265
| 28, 118
| 16, 546
| 24, 95
| 21, 58
|
| 50, 31
| 4, 362
| 28, 821
| 32, 411
| 16, 769
| 28, 41
| 24, 23
|
| 53, 82
| 4, 681
| 30, 910
| 35, 917
| 17, 952
| 31, 23
| 26, 39
|
| 56, 78
| 4, 951
| 32, 676
| 38, 883
| 17, 107
| 33, 61
| 28, 22
|
| 59, 35
| 5, 184
| 34, 205
| 41, 451
| 17, 241
| 35, 68
| 29, 80
|
| 61, 62
| 5, 339
| 35, 555
| 43, 717
| 17, 359
| 37, 51
| 31, 20
|
| 63, 64
| 5, 574
| 36, 762
| 45, 744
| 17, 465
| 39, 14
| 32, 45
|
| 65, 68
| 5, 741
| 37, 854
| 47, 577
| 17, 561
| 40, 61
| 33, 58
|
| 67, 15
| 5, 893
| 38, 851
| 49, 251
| 17, 641
| 41, 96
| 34, 61
|
| 68, 69
| 6, 034
| 39, 768
| 50, 779
| 17, 728
| 43, 19
| 35, 56
|
| 70, 12
| 6, 163
| 40, 617
| 52, 216
| 17, 803
| 44, 35
| 36, 44
|
| 71, 45
| 6, 283
| 41, 407
| 53, 541
| 17, 872
| 45, 41
| 37, 26
|
| 72, 68
| 6, 396
| 42, 164
| 54, 786
| 17, 937
| 46, 41
| 38, 03
|
| 73, 85
| 6, 502
| 42, 841
| 55, 951
| 17, 997
| 47, 35
| 38, 75
|
| 74, 95
| 6, 603
| 43, 496
| 57, 050
| 18, 055
| 48, 23
| 39, 42
|
| 76, 99
| 6, 697
| 44, 115
| 58, 090
| 18, 109
| 49, 07
| 40, 06
|
| 76, 98
| 6, 786
| 44, 703
| 59, 076
| 18, 160
| 49, 87
| 40, 67
| Таблица 6.8
Варианты 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49 ()
x
| 7)P=0.9
| 14)P=0.95
| 21)P=0.99
| 28)P=0.9
| 35)P=0.95
| 42)P=0.99
| 49)P=0.9
|
| 21, 68
| 29, 03
| 29, 88
| 22, 63
| 43, 22
| 21, 71
| 27, 89
|
| 12, 71
| 11, 56
| 16, 37
| 14, 73
| 16, 74
| 12, 61
| 16, 34
|
| 9, 72
| 5, 74
| 11, 86
| 12, 10
| 7, 91
| 9, 58
| 12, 49
|
| 8, 23
| 2, 83
| 9, 61
| 10, 78
| 3, 50
| 8, 07
| 10, 57
|
| 7, 33
| 1, 08
| 8, 26
| 9, 98
| 0, 85
| 7, 16
| 9, 41
|
| 6, 73
| -0, 09
| 7, 36
| 9, 46
| -0, 92
| 6, 55
| 8, 64
|
| 6, 30
| -0, 92
| 6, 72
| 9, 09
| -2, 18
| 6, 12
| 8, 09
|
| 5, 98
| -1, 54
| 6, 23
| 8, 80
| -3, 12
| 5, 79
| 7, 68
|
| 5, 73
| -2, 03
| 5, 86
| 8, 58
| -3, 86
| 5, 54
| 7, 36
|
| 5, 53
| -2, 41
| 5, 56
| 8, 41
| -4, 45
| 5, 34
| 7, 10
|
| 5, 37
| -2, 73
| 5, 31
| 8, 26
| -4, 93
| 5, 17
| 6, 89
|
| 5, 24
| -3, 00
| 5, 11
| 8, 14
| -5, 33
| 5, 03
| 6, 72
|
| 5, 12
| -3, 22
| 4, 94
| 8, 04
| -5, 67
| 4, 92
| 6, 57
|
| 5, 02
| -3, 41
| 4, 79
| 7, 96
| -5, 96
| 4, 82
| 6, 44
|
| 4, 94
| -3, 58
| 4, 66
| 7, 88
| -6, 21
| 4, 73
| 6, 33
|
| 4, 86
| -3, 72
| 4, 55
| 7, 82
| -6, 43
| 4, 65
| 6, 23
|
| 4, 80
| -3, 85
| 4, 45
| 7, 76
| -6, 63
| 4, 58
| 6, 15
|
| 4, 74
| -3, 97
| 4, 36
| 7, 71
| -6, 80
| 4, 53
| 6, 07
|
| 4, 68
| -4, 07
| 4, 28
| 7, 66
| -6, 96
| 4, 48
| 6, 01
|
| 4, 64
| -4, 16
| 4, 21
| 7, 62
| -7, 09
| 4, 43
| 5, 94
|
Приложение А - Законы распределения случайных величин
Равновероятное распределение (рис. А1, а).
Плотность распределения
Интегральная функция распределения
Параметры А - 0; E - -1, 2; tp=
Треугольное распределение (Симпсона) (рис. А1, б).
Плотность распределения
Интегральная функция распределения
Параметры A = 0; Е = -0, 6;
Нормальный закон (Гаусса) (рис. А1, в).
Плотность распределения
Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...
|
Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...
|
Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...
|
Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...
|
|
Понятие метода в психологии. Классификация методов психологии и их характеристика Метод – это путь, способ познания, посредством которого познается предмет науки (С...
ЛЕКАРСТВЕННЫЕ ФОРМЫ ДЛЯ ИНЪЕКЦИЙ К лекарственным формам для инъекций относятся водные, спиртовые и масляные растворы, суспензии, эмульсии, новогаленовые препараты, жидкие органопрепараты и жидкие экстракты, а также порошки и таблетки для имплантации...
Тема 5. Организационная структура управления гостиницей 1. Виды организационно – управленческих структур. 2. Организационно – управленческая структура современного ТГК...
|
|
Способы тактических действий при проведении специальных операций Специальные операции проводятся с применением следующих основных тактических способов действий: охрана...
Искусство подбора персонала. Как оценить человека за час Искусство подбора персонала. Как оценить человека за час...
Этапы творческого процесса в изобразительной деятельности По мнению многих авторов, возникновение творческого начала в детской художественной практике носит такой же поэтапный характер, как и процесс творчества у мастеров искусства...
|
|