Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона

Адиабатическим называется процесс, происходящий в условиях тепловой изоляции системы, когда d Q = 0. Работа, совершаемая системой в адиабатическом процессе, равна взятому с противоположным знаком изменению внутренней энергии

d A = - dU.

Если адиабатический процесс проводится с идеальным газом, то

d A = - C_V dT, или A ₁₂ = - C_V (T ₂ – T ₁).

Найдем, как связаны между собой параметры состояния идеального газа, совершающего квазистатический адиабатический процесс. Учитывая, что d Q = 0, а dU = C_V dT, уравнение первого начала термодинамики (3.3), можно переписать в виде

. (6.1)

Пользуясь соотношением (5.4) можно выразить dT через dP и dV

и подставить в (6.1). Принимая во внимание, что C_V + R = C_P получим

. (6.2)

Введем обозначение , и поделим равенство (6.2) на С_V× P× V.

При этом произойдет разделение переменных .

Интегрируя, получим , или .

Это дает уравнение адиабаты в переменных давление-объем

. (6.3)

Соотношение (6.3) называется уравнением Пуассона.

Величина g = C_P / C_V называется показателем адиабаты или адиабатической постоянной. Пользуясь тем, что PV = RT, легко получить уравнение адиабаты в переменных T-V и T-P

, (6.4)

. (6.5)

Так как C_P > C_V, то g > 1. Тогда из (6.4) следует, что при адиабатическом сжатии газ нагревается, а при адиабатическом расширении – охлаждается. Это явление используется в дизелях, где воспламенение горючей смеси осуществляется путем адиабатического сжатия. Нагревание объясняется тем, что во время сжатия внешние силы совершают над газом работу, которая идет на увеличение его внутренней энергии, а значит и температуры.

Рис. 6.1

На P-V диаграмме (рис. 6.1) адиабата S-S внешне похожа на изотерму T-T, но имеет больший наклон. Сравним производные (¶ P /¶ V) _T и (¶ P /¶ V)_ад, определяющие наклон изотермы и адиабаты.

Из уравнения изотермы PV = const следует, что P (dV) _T + V (dP) _T = 0. Отсюда

. (6.6)

Беря дифференциал от обеих частей уравнения адиабаты (6.3), получим

.

Тогда . (6.7)

 

Следовательно . (6.8)

Так как g > 1, из соотношения (6.8) следует, что при адиабатическом изменении объема давление меняется сильнее, чем при изотермическом.