Примеры. .

 

1.

 

2.

 

3.

интеграл вычислим отдельно. Выделим целую часть дроби, прибавив в числителе 1 и вычтя 1.

=

окончательно получаем:

4.

5.

– к последнему интегралу применим формулу интегрирования по частям

Ответ.

 

6.

 

7.

– к последнему интегралу применим формулу интегрирования по частям: x = U; dU = dx;
dV = e ^{–2 x}dx;

 

6.5. Интегрирование рациональных функций

где P (x) и Q (x) – многочлены.

Интегралы от функций например можно найти путём разложения на слагаемые, которые приводят всегда к формулам интегрирования.

Например, таким:

1. ;

2. ,

3) .

Если степень числителя выше степени знаменателя или равна ей, то дробь называют неправильной и всегда нужно выделить целую часть, т.е. представить дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Например:

, степень числителя равна 5, а знаменателя 4. Дробь неправильная. Выделим целую часть, для этого поделим углом числитель на знаменатель.

В частном получим x-целая часть, в остатке –числитель неправильной дроби.

.

Для вычисления правильной дроби используем основную теорему алгебры; правильную дробь можно разложить на сумму простейших дробей с неопределенными коэффициентами

– разложим на простейшие. Найдем A, B, C, D – неопределенные коэффициенты.

– привели к общему знаменателю.

Уравняем коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой части

Подставим найденные значения A, B, C, D в разложение и вычислим интегралы.