АЛГЕБРА БУЛЯ

— исторически первый раздел математической логики, разработанный ирландским логиком и математиком Дж. Булем в середине XIX в. Буль применил алгебраические методы для решения логических задач и сформулировал на языке алгебры некоторые фундаментальные законы мышления.

Буль представляет логику как алгебру классов (будем обозначать их символами А, В, С,...). Основными операциями в А. Б. являются: сложение классов A È. B; умножение классов А Ç В; дополнение класса А'. Свойства этих операций описываются следующими аксиомами: la. A È (B È C) = (A È B) È C — ассоциативность сложения;
16. A Ç (B Ç C) = (A Ç В) È C — ассоциативность умножения;
2a. A È B= BÈ A — коммуникативность сложения;
2б. А Ç В =В Ç А — коммуникативность умножения;
3a. A È (В Ç С)= =(A È B) Ç (A È C) — дистрибутивность сложения относительно умножения;
36. A Ç (B È C)==(A Ç B) È (A Ç C) — дистрибутивность умножения относительно сложения.
В А. Б. существуют два элемента 0 и 1, операции с которыми
подчиняются следующим соотношениям:

A È 0= A;

A Ç 1= A;

A È A' =1;

A Ç A '=0.

Характерная особенность А.Б. заключается в том, что в ней отсутствуют коэффициенты и показатели степеней. Сумма двух А

равна А: А È А=А, а не 2А, как в обычной алгебре. Точно так же и произведение двух A равно A: А Ç А=А, а не A ².

Важным законом А. Б. является принцип двойственности, согласно которому если в некотором справедливом равенстве мы заменим все вхождения È на Ç и Ç на È, 1 на 0 и 0 на 1, то получим равенство, двойственное первому и также справедливое. Примерами двойственных равенств являются приведенные выше аксиомы.

А.Б. широко применяется при проектировании и проверке электрических схем, в которых используются реле, работающие по принципу «да - нет», при программировании и проектировании ЭВМ, в операциях с переключателями, сигналами, схемами. В современной математической логике этот раздел значительно усовершенствован и разрабатывается как теория булевых алгебр, в том числе как алгебра множеств, алгебра высказываний и т. п. В области традиционной логики соотношения А. Б. часто используются для иллюстрации и прояснения отношений между объемами понятий.

АЛГОРИТМ (АЛГОРИФМ)

(от Algorithmi - латинизированная форма имени выдающегося среднеазиатского ученого Аль-Хорезми) — конечный набор правил, позволяющих чисто механически решать любую конкретную задачу из некоторого класса однотипных задач. Примерами простейших А. могут служить А. вычитания, сложения, умножения и деления целых чисел в арифметике с десятичной системой счисления.

Осуществление алгоритмического процесса может быть передано машине, которая благодаря своему быстродействию способна решать задачи, недоступные человеку. Возможность передать машине осуществление алгоритмических процедур стимулировала создание математической теории алгоритмов, в которой понятие А. было уточнено с помощью таких понятий, как «рекурсивная функция», «машина Тьюринга», «нормальный А.» и т. п.

АЛОГИЗМ (от греч. а - не, logos - разум)

— ход мысли, нарушающий какие-то законы и правила логики и поэтому всегда содержащий в себе логическую ошибку. Если ошибка допущена непреднамеренно, то перед нами паралогизм; если же ошибка допущена с определенной целью, то мы столкнулись с софизмом.

АМФИБОЛИЯ (от греч. amphibolia - двусмысленность, двойственность)

— логическая ошибка, в основе которой лежит двусмысленность языковых выражений. Напр.: «Шуба - русское слово, но шуба греет, следовательно, некоторые русские слова греют». Здесь слово «шуба» употреблено в разных смыслах, поэтому и получился абсурдный вывод.

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ. А. (от греч. analysis - разложение)

- разделение объекта на составные части, стороны, свойства. С. (от греч. synthesis — соединение) — объединение полученных в результате А. частей объектов, их сторон или свойств в единое целое. А. и С. используются как в мыслительной, так и в практической, напр. экспериментальной, деятельности. Уже на ступени чувственного познания мы разлагаем явления на отдельные стороны и свойства, выделяя их форму, цвет, величину, составные части и т. п. Процедуры А. и С. являются необходимым элементом всякого научного познания и обычно образуют его начальный этап, на котором происходит переход от общего, нерасчлененного описания изучаемых объектов к выявлению их строения, состава и отдельных свойств. В различных науках используются специфические способы А. и С.

АНАЛИТИЧЕСКИЕ И СИНТЕТИЧЕСКИЕ СУЖДЕНИЯ (в логике)

А. с. — суждения, истинность которых устанавливается без обращения к действительности посредством логико-семантического анализа их компонентов. С. с. — суждения, истинность которых устанавливается только в процессе их сопоставления с той реальностью, о которой они говорят.

Впервые в ясной форме разделение суждений на А. и С. было осуществлено немецким философом И. Кантом (1724—1804). А. с. Кант называл такое суждение, предикат которого уже входит в содержание субъекта и, таким образом, ничего не добавляет к тому, что мы знали о субъекте. Напр., суждение «Всякий холостяк неженат» является аналитическим, т. к. признак «быть неженатым» уже мыслится в содержании понятия «холостяк». «Всякое тело протяженно», «Москвичи живут в Москве» — все это А. с. Синтетическим же, согласно Канту, является такое суждение, предикат которого добавляет что-то новое к содержанию субъекта, напр. «Алмаз горюч», «Тихий океан — самый большой из океанов Земли» и т. п. Считается, что только С. с. выражают новое знание, А. с. представляют собой тавтологии, не содержащие никакой информации.

Современная логика расширила понятие а.с., включив в число таких суждений и сложные суждения, истинность которых можно установить лишь на основе логических правил, не обращаясь к реальности. Напр., если нам дано суждение «а --> а», то нам не нужно обращаться к действительности, чтобы узнать, истинно или ложно суждение «а», — в любом случае данная импликация будет истинной. Следовательно, это А. с.

Различие между А. и С. с. не является строгим и четким, ибо наши понятия в процессе развития познания изменяют свое содержание, включают в него новые признаки, а это приводит к тому, что какие-то С. с. становятся А.с. Напр., когда-то суждение «Все тигры полосаты» было С. с. и несло в себе новую информацию о тиграх. Но сейчас понятие «тигр», кажется, уже включило в свое содержание признак полосатости. Скорее всего мы затруднимся назвать тигром животное, во всем похожее на тигра, но лишенное характерных полос на шкуре. Следовательно, это суждение стало А. с.

АНАЛОГИЯ (от греч. analogia - соответствие)

— сходство между предметами, явлениями и т. д. Умозаключение по А. (или просто А.) — индуктивное умозаключение, когда на основе сходства двух объектов по каким-то одним параметрам делается вывод об их сходстве по другим параметрам. Напр., планеты Марс и Земля во многом сходны: они расположены рядом в Солнечной системе, на обеих есть вода и атмосфера и т. д.; на Земле есть жизнь; поскольку Марс похож на Землю с точки зрения условий, необходимых для существования живого, можно сделать вывод, что на Марсе также имеется жизнь. Это заключение является, очевидно, только правдоподобным.

А. — понятие, известное со времен античной науки. Уже тогда было замечено, что уподобляться друг другу, соответствовать и быть сходными по своим свойствам могут не только предметы, но и отношения между ними. Помимо А. свойств существует также А. отношений. Напр., в известной планетарной модели атома его строение уподобляется строению Солнечной системы: вокруг массивного ядра на разных расстояниях от него движутся по замкнутым орбитам легкие электроны, подобно тому как вокруг Солнца обращаются планеты. Атомное ядро не похоже на Солнце, а электроны — на планеты; но отношение между ядром и электронами во многом подобно отношению между Солнцем и планетами. Продолжая это сходство, можно предположить, что электроны, как и планеты, движутся не по круговым, а по эллиптическим орбитам.

Сходство сопряжено с различием и без различия не существует. А. всегда является попыткой продолжить «сходство несходного», причем продолжить его в новом, неизвестном направлении. Она не дает достоверного знания: если посылки рассуждения по А. истинны, это еще не означает, что и его заключение будет истинным. А., дающую высоковероятное знание, принято называть строгой или точной. Научные А. обычно являются строгими. Умозаключения по А., нередкие в повседневной жизни, как правило, не особенно строги, а то и просто поверхностны. От А., встречающихся в художественной литературе, точность вообще не требуется, у них иная задача, и оцениваются они по другим критериям, прежде всего по силе художественного воздействия.

Для повышения вероятности выводов по А. необходимо стремиться к тому, чтобы было схвачено и выражено действительное, а не кажущееся сходство сопоставляемых объектов. Желательно, чтобы эти объекты были подобны в важных и существенных признаках, а не в случайных и второстепенных деталях. Полезно также, чтобы круг совпадающих признаков был как можно шире. Но наиболее важен для строгости А. характер связи сходных признаков предметов с переносимым признаком. Информация о сходстве должна быть того же типа, что и информация, распространяемая на другой предмет. Если исходное знание внутренне связано с переносимым признаком, вероятность вывода заметно возрастает. И наконец, при построении А. следует учитывать не только сходные черты сопоставляемых объектов, но и их различия. Если последние внутренне связаны с признаком, который предполагается перенести с одного объекта на другой, А. окажется маловероятной.

Обращение к А. может диктоваться разными задачами. Она может привлекаться для получения нового знания, для того, чтобы менее понятное сделать более понятным, представить абстрактное в более доступной форме, конкретизировать отвлеченные идеи и проблемы и т. д. По А. можно также рассуждать о том, что недоступно прямому наблюдению. А. может служить средством выдвижения новых гипотез, являться своеобразным методом решения задач путем сведения их к ранее решенным задачам и т. п.

Рассуждение по А. дало науке многие блестящие результаты, нередко совершенно неожиданные. Так, в XVII в. движение крови в организме сравнивали с морскими приливами и отливами; А. с насосом привела к идее непрерывной циркуляции крови. Д. Менделеев, построив таблицу химических элементов, нашел, что три места в ней остались незаполненными; на основе известных элементов, занимающих аналогичные места в таблице, он указал количественные и качественные характеристики трех недостающих элементов, и вскоре они были открыты. А. между живыми организмами и техническими устройствами лежит в основе бионики, использующей открытые закономерности структуры и жизнедеятельности организмов при решении инженерных задач и построении технических систем.

А. является, таким образом, мощным генератором новых идей и гипотез. Аналоговые переносы представляют собой достаточно твердую почву для контролируемого риска. С их помощью мобилизуются решения, уже доказавшие свою работоспособность, хотя и в другом контексте, и устанавливаются связи между новыми идеями и тем, что уже считается достоверным знанием.

Вместе с тем А., и в особенности А. отношений, могут быть чисто внешними, подменяющими действительные взаимосвязи вещей, надуманными. Подобного рода уподобления были обычны в средневековом мышлении, на них опираются магия и всякого рода гадания и прорицания.

А. обладает слабой доказательной силой. Продолжение сходства может оказаться поверхностным или даже ошибочным. Однако доказательность и убедительность далеко не всегда совпадают. Нередко строгое, проводимое шаг за шагом доказательство оказывается неуместным и убеждает меньше, чем мимолетная, но образная и яркая А. Доказательство — сильнодействующее средство исправления и углубления убеждений, в то время как А. подобна гомеопатическому лекарству, принимаемому ничтожными дозами, но оказывающему тем не менее заметный лечебный эффект.

А. — излюбленное средство убеждения в художественной литературе, которой по самой ее сути противопоказаны сильные, прямолинейные приемы убеждения. А. широко используется также в обычной жизни, в моральном рассуждении, в идеологии, утопии и т. п.