Свойства ассоциативности для композиции соответствийfÍ АхВ, gÍ CхD, hÍ EхF h° (g°f)= (h° g)°f g°f Í АхD h° (g°f) Í АхF (h° g)°f Í АхE Докажем свойство ассоциативности h° (g°f), (h° g)°fÍ АхF. Зафиксируем элемент аÎ А и подействуем на него (h° (g°f))(а)= h° (g°f)(а)= h(g(f(а))= (h° g)(f(а))= ((h° g) °f)(а). Композиция отображений. Ее свойства Пусть f: А®В, g: В®C, тогда 1° g°f является отображением и действием g°f: А®C 2° если g и f инъективные отображения, то и композиция g°f также инъективное отображение 3° если g и f сюръективные отображения, то и композиция g°f - сюръективное отображение 4° если g и f биективные отображения, то и композиция g°f - биективное отображение 1° Пусть g°f Í АхC, зафиксируем " аÎ А Доказательство: Подействуем на этот элемент (g°f)(а)= g(f(а)). Для доказательства того, что соответствующий f является отображением можно использовать утверждение: " аÎ А |f(а)|=1, f Í АхВ. Из того, что f и g являются отображением Þ " аÎ А |g°f(а)|=1 Þ g°f: А®C. 2° Зафиксируем элементы " а1, а2 Î А. Доказательство: Подействуем нашим отображением на а1 (g°f)(а1)= (g°f)(а2) Þ а1=а2. Рассмотрим равенство (g°f)(а1)= g(f(а1))= g(f(а2)) Þ f(а1)= f(а2) Þ а1=а2. 3° Дано: g и f сюръективные Доказать: g°f сюръективное отображение Доказательство: Покажем, что " сÎ С имеет прообраз во множестве А. Зафиксируем " сÎ С. Из того, что g сюръективно следует, что существует bÎ B: g(b)=с. Так как f сюръективно следует $аÎ А: f(а)=b, g(f(a))=c, (g°f)(a)=c следует А f В g С
а b c g°f 4°Доказательство следует из доказательств 2° и 3°.
|
