II этап. Введение нового материала.

Объяснить доказательство формулы Герона двумя способами: 1) методом алгебраического моделирования с использованием синтетического метода и 2) аналитико-синтетическим методом с использованием тригонометрических знаний.

0 этап. Теорема. Площадь треугольника, стороны которого равны и , вычисляется по формуле , где - полупериметр.

Опорная задача-теорема. Во всяком треугольнике хотя бы два угла острые.

Объяснение доказательства (методом от противного). Предположим, что существует треугольник , в котором два угла тупые: и . Тогда (поскольку и ). Но, по теореме о сумме углов треугольника, . Получаем противоречие: , т.е. . Значит, наше предположение неверно и в каждом треугольнике хотя бы два угла острые, ч.т.д.

Дано: , , , ,

.

Доказать: , где .

Объяснение доказательства.

1-ый способ доказательства:

1) синтетическим методом;

2) методом опорных задач-теорем;

3) методом геометрического конструирования;

4) методом алгебраического моделирования;

5) с использованием «самого сильного метода в математике»;

6) методом разложения на множители по формуле ;

7) методом площадей по формуле .

I этап. Геометрическое конструирование (моделирование). Пусть в исходном углы и - острые. Тогда точка лежит между и (вершинами двух острых углов) (задача № 35, стр. 64, Погорелов). Из точки проведем высоту . Тогда ее основание лежит между точками и и делит отрезок на две части.

II этап. Алгебраическое моделирование на основе двукратного применения теоремы Пифагора.

1) Введем неизвестные величины: и ; очевидно, что .

2) По теореме Пифагора, примененной дважды к двум прямоугольным треугольникам, получим:

а) в ;

б) в .

3) Получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными (и тремя параметрами ):

- это алгебраическая модель геометрической ситуации.

4) Работа с математической моделью (по А.Г.Мордковичу). Решим эту систему относительно методом равносильных преобразований:

(деление на допустимо, поскольку по смыслу задачи ).

5) Метод разложений на множители в выражении для .

а) Преобразуем полученное выражение для по формуле (это метод-идея преобразований):

Отметим, что по условию

б) Трижды используя «самый сильный метод в математике», получим:

в) Значит,

и, следовательно,

Отметим, что и , поскольку и .

6) Метод площадей. По основной формуле площади треугольника . Тогда, подставив в эту формулу найденное выражение для , получим:

. Ч.т.д.

 

2-ой способ доказательства аналитико-синтетическим методом с использованием тригонометрических знаний.

I этап. Восходящий анализ. Имеем: , где есть угол, лежащий против стороны . Выразим через стороны треугольника.

II этап. Из теоремы косинусов и основного тригонометрического тождества получим:

1)

2)

Отметим, что по условию .

III этап. Трехкратное применение «самого сильного метода в математике». Тогда (прием: самый сильный метод в математике, по М.А.Красносельскому, - «добавить» и «отнять» одно и то же выражение):

IV этап, заключительный.

1) Имеем:

2) Поскольку и , то и

3) Подставим полученное выражение в известную формулу для площади, получим:

. Ч.т.д.