Сходимость ряда Фурье

Рассмотрим вопрос о сходимости ряда Фурье. Вначале заметим, что если ряд Фурье сходится на отрезке к функции , то в силу периодичности его членов он сходится на всей числовой прямой к периодической функции. Эта функция является периодическим продолжением с периодом функции . Поэтому будем считать, что на числовой прямой задана периодическая с периодом функция , интегрируемая на и для нее написан ряд Фурье с коэффициентами, определенными по формулам (23).

Теорема 15. (Дирихле) Пусть выполняются условия:

1) периодическая с периодом функция;

2) кусочно-непрерывная на ;

3) имеет в каждой точке правую и левую производные.

Тогда ряд Фурье функции сходится всюду, причем его сумма в точках непрерывности функции равна , а в точках разрыва равна .

ƒ Вначале получим интегральное представление для частичной суммы .

.

Воспользуемся формулой

(26)

и получим

.

Производя замену , получаем

.

Так как под интегралом стоит периодическая с периодом функция, то интеграл по любому отрезку имеет одно и тоже значение

.

Заменяя в первом интеграле , получаем

. (27)

Из (26) следует, что

.

Тогда в силу (27) имеем

. (27)

Функции и кусочно-непрерывны на , так как имеют разрывы первого ряда в тех же точках, что и функции и соответственно. При и можно считать непрерывными, так как в силу условий теоремы существуют пределы

– правая производная.

– левая производная.

Перейдем в (27) к пределу при . В силу Леммы Римана при оба интеграла равны 0. Следовательно, для выполняется

.

В частности, если – точка непрерывности функции , то и . <

Теперь рассмотрим достаточные условия равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье.

Определение 7. Говорят, что функция имеет на отрезке кусочно-непрерывную производную, если существует и непрерывна на отрезке , за исключением может быть конечного числа точек, в каждой из которых функция имеет пределы слева и справа.

Теорема 16. Пусть непрерывная периодическая (с периодом ) функция, имеющая на отрезке кусочно-непрерывную производную. Тогда ряд Фурье функции сходится абсолютно и равномерно на всей числовой прямой.

ƒ По условиям теоремы имеет кусочно-непрерывную производную, тогда она в каждой точке имеет левую и правую производные, и, таким образом, удовлетворяет всем условиям теоремы 1 и поэтому ряд Фурье сходится всюду к . Докажем, что ряд сходится абсолютно и равномерно.

Пусть и коэффициенты Фурье функции . Тогда

.

Аналогично получаем, что .

Рассмотрим числовой ряд

.

Этот ряд сходится, так как , , а ряды ; , – сходятся. Сходимость первых двух рядов следует из неравенства Бесселя

.

Из сходимости ряда в силу признака Вейерштрасса следует абсолютная и равномерная сходимость ряда Фурье на всей числовой прямой. <

Замечание. Доказанная теорема естественно переносится на тригонометрические ряды Фурье периодических функций с произвольным периодом.