Предел функции
ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО МАТАНАЛИЗУ ПМИ, Дзержинск) 1 семестр
Введение в анализ. Множества. Счетные и несчетные множества. Промежутки. Ограниченные и неограниченные числовые множества. Определения верхней и нижней граней. Определяющие свойства граней. Аксиома о существовании верхней грани. Неравенства для модулей чисел (неравенство треугольника и следствие из него). Бином Ньютона (без доказательства).
Элементарные функции. Основные элементарные функции, их графики. Выражение loga x через натуральный логарифм. Соотношения между функциями: arcsin x и arccos x; arctg x и arcctg x. Определение элементарной функции.
Числовые последовательности Числовая последовательность. Определяющие свойства верхней и нижней граней для числовой последовательности. Определение предела числовой последовательности и его свойства. Бесконечно малые последовательности, их арифметические свойства. Арифметические свойства предела. Сравнение бесконечно малых. Бесконечно большие. Соотношения между бесконечно малыми и бесконечно большими. Теорема о сходимости монотонной последовательности. Доказательство существования Принцип вложенных промежутков. Подпоследовательность, ее свойства. Теорема Больцано-Вейерштрасса о подпоследовательности. Определение конечных верхнего и нижнего пределов числовой последовательности, их свойства (без док-ва). Определение и свойства сходящейся в себе (фундаментальной) последовательности. Критерий (необходимый и достаточный признак) Коши сходимости числовой последовательности.
Функции. Понятие функции. Ограниченные и неограниченные, монотонные, четные и нечетные, периодические функции. Обратная функция.
Предел функции Определения конечных и бесконечных пределов функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы функции: определение, примеры. Неопределенности, их раскрытие (практ.). Теорема об эквивалентности определений Коши и Гейне конечного предела функции в точке Бесконечно малые функции, их сравнение. Локальная ограниченность функции. Свойства конечного предела функции в точке (без док-ва). Замечательные пределы Асимптоты графика функции. Определения функции, непрерывной в точке, и ее свойства. Теорема о нуле непрерывной функции. Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции. Теорема о непрерывности обратной функции. Непрерывность основных элементарных функций (док-во для xn только при Вывод пределов Теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции. Понятия глобальных экстремумов. Теорема Вейерштрасса о существовании глобальных экстремумов непрерывной функции. Условия непрерывности функции, заданной параметрически. Точки разрыва 1 и 2 рода.
|
.
. Непрерывность элементарных функций.
, 
, 
.
