Хвильове рівняння. Поздовжні і поперечні хвиліПрипустимо, що хвильовий процес розповсюджується у додатному напрямку осі ОХ, а джерело коливань знаходиться в площині, перпендикулярній до напрямку розповсюдження, і коливається за законом S (t) = A sin w t (мал. 3.29).
Мал. 3.29. Хвильовий процес. Нехай υ; – швидкість розповсюдження хвильового процесу у середовищі. Через проміжок часу t = х / υ; хвильовий процес досягне точки В, яка знаходиться на відстані х від джерела коливань, і викличе коливання цієї точки через час t за законом: S (x, t) = A sin w (t – t) = A sin w (t – x / υ;). (3.57) Рівняння (3.57) – це рівняння плоскої хвилі. Величину Під швидкістю розповсюдження хвилі розуміють швидкість розповсюдження фіксованої фази коливання. Дійсно, якщо w (dt – dx / υ;) = 0, звідки υ; = dx / dt. Як відомо, довжина хвилі l дорівнює відстані, яку проходить хвиля за час, що дорівнює періоду коливань: l = υ×T. Враховуючи зв’язок між Т, υ;, w i l, рівняння (3.57) можна подати у вигляді:
З рівняння плоскої хвилі випливає, що зміщення S = f (x, t), тобто хвиля має подвійну періодичність (як у просторі, так і у часі). Рівняння (3.57) є розв’язком диференційного рівняння другого порядку у частинних похідних:
Рівняння (3.58) являє собою одновимірне хвильове рівняння плоскої хвилі. Якщо яка-небудь фізична величина описується таким хвильовим рівнянням, то це означає, що вона розповсюджується в просторі у вигляді плоскої хвилі зі швидкістю υ;.
|
називають фазою хвилі. Геометричне місце точок, які коливаються в однаковій фазі, утворює хвильову або фазову поверхню. Поверхня, до якої дійшла хвиля у деякий момент часу, називається фронтом хвилі. У даному випадку фронт хвилі являє собою площину х = const, тому хвиля зветься плоскою. Форма хвильової поверхні визначається конфігурацією джерела коливань і властивостями середовища. В ізотропному середовищі від точкового джерела розповсюджується сферична хвиля, в якої хвильова поверхня є сфера.
. (3.58)
