ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

 

Определенный интеграл является одним из основных понятий математического анализа и широко используется в разных областях науки, техники и в экономических исследованиях.

 

1. Задача вычисления площади криволинейной трапеции.

Пусть на отрезке [ a, b ] определена непрерывная функция у = f(х). Пусть f≥0 для .

Определение 1. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная прямыми х = а и х = b, отрезком [ a, b ] оси Ох и кривой у = f(х) (рис. 1).

Вычислим площадь этой криволинейной трапеции. С этой целью разобьем отрезок [ a, b ] произвольным образом на частей точками . Обозначим концы отрезка [ a, b ] . Тогда отрезок [ a, b ] разобьется на отрезков

.

Обозначим их длины через . Через точки разбиения проведем перпендикуляры к оси Ох и продолжим их к пересечению с кривой у = f(х). Эти перпендикуляры разделят площадь криволинейной трапеции на узких криволинейных трапеций. Заменим каждую из этих трапеций прямоугольником с основанием и высотой , где . Площадь каждого такого прямоугольника равна . Сумма площадей всех таких прямоугольников будет равна

Таким образом, площадь S криволинейной трапеции приближенно равна этой сумме, то есть

. (8.1)

Эта формула будет тем точнее, чем меньше величина .

Чтобы получить точную формулу для вычисления площади S криволинейной трапеции, надо в этой формуле перейти к пределу, когда . Тогда

. (8.2)

Требование обеспечивает равномерность разбиения отрезка [ a, b ] на части.

 

Задача на вычисление пути, пройденного материальной точкой.

Пусть нужно определять путь , который прошла материальная точка, движущаяся по прямой с переменной скоростью за время от до .

Поделим промежуток времени на промежутков: . Обозначим через произвольный момент времени из промежутка , а значения скорости в этой точке обозначим Точка, движущаяся с постоянной скоростью на промежутке , проходит за это время путь , а за время она пройдет путь

.

 

 

Путь, который проходит точка за время , вычисленный таким образом, будет отличаться от настоящего пути, но тем меньшее, чем меньше будет промежуток времени , тем меньшее изменяется скорость движения. Итак, когда , тогда переменная скорость на промежутке мало отличается от постоянной . Поэтому соответствующее действительности значение пути, пройденного точкой за время , будет равно пределу этой суммы при , т.е.

. (8.3)

3. Задача о работе переменной силы.

Пусть материальная точка , двигаясь прямолинейно под действием силы прошла путь от точки до точки в направления действия этой силы. Надо вычислить работу , силы

Если сила во время прямолинейного движения точки сохраняла постоянное значение, то искомая работа

.

Пусть теперь сила изменяется во время движения точки М, т.е. является функцией абсциссы точки М в системе координат, введенной таким образом, положительное направление оси совпадает с направлением движения точки М. Пусть абсциссы точек А и В соответственно и , т.о. .

Разобьем отрезок произвольным чином на отрезков где - абсциссы точек распределения. Обозначим длины этих отрезков через .

Будем считать, что на каждом частичном отрезке сила сохраняет постоянное значение, которое она имеет в начале каждого отрезка: , тогда работа по перемещению материальной точки на каждом из отрезков будет равняться соответственно ,

а вся работа приближенно определится как сумма

- дает приближенное значение работы, произведенной силой при перемещении материальной точки на пути АВ.

будет тем меньшее отличаться от , чем меньшими будут частичные отрезки так как чем меньшее , тем меньшее успевает измениться значения силы на этом промежутке. Поэтому точное значение работы ми найдем, если перейдем к пределу суммы при условии, что длины частичных отрезков направляются к нулю. Итак, имеем

. (8.4)

Рассмотрев три разных задачи, мы видим, что с математической точки зрения их решения, которые даются формулами (8.2-8.4), отображают одинаковую задачу.

Определенный интеграл и его содержание

Пусть функция задана на отрезке . Сделаем следующие шаги:

1) разобьем отрезок произвольным образом на отрезков точками ;

2) на каждом отрезке длиной выберем произвольную точку ;

3) вычислим значение функции в этой точке где ;

4) найдем сумму

(8.5)

Ее называют интегральной суммой для функции на отрезке .

5) вычислим предел интегральной суммы при условии, что максимальная из длин частичных отрезков стремится к нулю. Если этот предел существует, конечен, не зависит от способа разбиения отрезка , и от способа выбора точки на каждом из частичных отрезков, то она и называется определенным интегралом от функции на отрезке . Т.о.:

Определение.2. Если существует конечный предел интегральной суммы (8.5) при , не зависящий от способа разбиения отрезка на частичных отрезков и выбора точек на каждом из них, то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается

.

Функция называется в этом случае интегральной на отрезке .

Итак, математически это определение можно записать так:

(8.6)

Числа и называют нижним и верхним пределами интегрирования соответственно, - отрезок интегрирования, - переменная интегрирования.

В соответствии с этим определением равенства (8.2)-(8.4) теперь можно записать в виде (8.7)

то есть площадь криволинейной трапеции , путь , пройденный точкой с переменной скоростью , работа по перемещению материальной точки под действием переменной силы выражаются определенным интегралом.

Из определение (8.2) не вытекает, что любая функция интегрируема на любом отрезке. Можно найти такие функции, для которых определенный интеграл не существует, то есть интегральная сумма не стремится к какому-либо конечному пределу. Поэтому отметим условия, при которых функция является интегрируемой.

Теорема.1. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема 2. Если функция на отрезке ограничена и имеет конечное количество точек разрыва, то она интегрируема на отрезке .

Теорема 3. Монотонная ограниченная функция всегда интегрируема.

Замечание 1. Отметим, что определенный интеграл зависит только от вида функции и пределов интегрирования, но не зависит от обозначения переменной интегрирования, то есть

Замечание 2. При введении понятия определенного интеграла мы предполагали, что . Если , то примем по определению

(8.8)

Замечание 3. В случае будем считать по определению

(8.9)

Замечание 4. Вычисление по определению, то есть как предела интегральной суммы, связано с большой вычислительной трудностью, поэтому возникает задача: найти практически удобный метод его вычисления. Этот метод мы рассмотрим дальше.