Уравнение в полных дифференциалах.

Определение. Уравнение

(1)

называется уравнением в полных дифференциалах, если и - непрерывные, дифференцируемые функции, для которых выполняется соотношение

, (2)

причем и непрерывны в некоторой области.

При выполнении условия (2) левая часть уравнения (1) представляет полный дифференциал некоторой функции .

Уравнение (1) можно записать в виде

(3)

Общее решение этого уравнения будет

,

где С – произвольная постоянная.

Полный дифференциал некоторой функции выражается формулой

,

т.е. .

Тогда , (4)

Дифференцируя 1 ^ое соотношение по у, а 2 ^ое по х получим

, .

Т.к. , то ,

т.е. равенство (2) является необходимым условием для того, чтобы левая часть уравнения (1) была полным дифференциалом некоторой функции . Покажем, что это условие является и достаточным, т.е. при выполнении условия (2) левая часть уравнения (1) есть полный дифференциал некоторой функции .

Из соотношения находим , где - область решения.

При интегрировании по х, у – считали постоянной, поэтому она входит в состав произвольной постоянной. Подберем функцию так, чтобы выполнялось второе условие равенства (4). Продифференцируем последнее равенство по у

Учитывая, что , , можем написать

или , откуда или .

Итак, будет иметь вид

Точка области, в которой существует решение уравнения (1).

Общее решение уравнения (1) запишем так:

Пример.

Условие выполняется

Общее решение