Векторная диаграмма

Изобразим эти колебания с помощью векторов (14.3.1.), амплитуды которых получаются после умножения на 2β;, а - ξ на ω²₀.

.

В отличие от (14.3.2) вправо направим вектор длиной ω²₀A, изображающий функцию ω²₀A · Cos(ωt - φ), начальная фаза которой равна "минус фи".

Резонанс

Т.к. ,

то

.

Таким образом, амплитуда вынужденных колебаний изменяется с изменением частоты внешнего воздействия. При определенной частоте амплитуда достигает максимума. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота - ω_рез - резонансной. Для определения ω_рез исследуем функцию A(ω;) на максимум, для этого достаточно найти минимум знаменателя у выражения A(ω). Возьмем от него производную по и приравняем к нулю:

,

откуда:

.

При 2β² > ω²₀ резонанс отсутствует (ω_рез - мнимое число).

Амплитуда при резонансе

Амплитуда при резонансе получается при подстановке найденного выражения ω_рез в формулу для A(ω;).

.

При β << ω₀:

.

При ω = 0 отклонение системы от положения равновесия

.

Найдем отношение A_рез / A₀ при условии β << ω₀:

,

здесь Q - добротность.

Добротность показывает (при β << ω₀) во сколько раз амплитуда при резонансе больше смещения при ω = 0.

Резонансные кривые

График зависимости A(ω) при различных β; носят название резонансных кривых.

β₁ < β₂ < β₃, 2β²₃ > ω²₀, в этом случае резонанса нет.