Непрерывность элементарных функций.

1) y = sin x, (-¥ < x < +¥).

Ранее мы доказали непрерывность функции sin x в точке x = 0.

Докажем непрерывность sin x в произвольной точке а. Для этого нужно доказать, что

sin x = sin a, или что sin x - sin a ® 0 при x ® a. Воспользуемся формулой

sin x - sin a = 2sin cos .

Если x ® a, то ® 0, поэтому sin ® 0, а так как 2cos - ограниченная функция, то sin x - sin a ® 0, что и требовалось доказать. Непрерывность sin x в любой точке доказана.

Рассмотрим теперь функцию у = , Х =[- £ x £ ]. На этом сегменте функция y = sin x является непрерывной и возрастающей (возрастание следует из формулы

sin - sin = 2sin cos ).

Следовательно, по теореме 3.5, множеством значений данной функции является сегмент

Y = [sin(- ), sin()] = [-1, 1], на Y= [-1, 1] существует обратная функция x = arcsin y, возрастающая и непрерывная на [-1, 1].

(рисунок)

2) y = cos x и x = arccos y - доказать непрерывность самостоятельно

(рассмотреть y = cos x на [0, p]).

3) y = tg x = (x ¹ + p n, n Î Z)/

Во всех точках области определения tg x является непрерывной функцией как частное двух непрерывных функций. Рассмотрим функцию y = tg x на [- + d, - d], d > 0.

(рисунок)

На этом сегменте функция y = tg x - непрерывная и возрастающая (возрастание следует из формулы

tg - tg = ).Следовательно, по теореме 3.5 множеством значений данной функции является сегмент Y = [tg(- + d), tg( - d)], на Y существует обратная функция x = arctg y, возрастающая и непрерывная.

Заметим теперь, " y $d > 0, такое, что y Î [tg(- + d), tg( - d)].

Так как tg(- + d) ® -¥ при d ® +0, tg( - d) ® +¥ при d ® +0, То функция, x = arctg y определена для всех y Î (-¥, ¥), является возрастающей и непрерывной.

(рисунок)

4) y = ctg x и x = arcctg y - доказать непрерывность самостоятельно.

5) y = , n - натуральное, Х Î (-¥, ¥).

Эта функция непрерывна в любой точке как произведение n непрерывных функций, равных х.

Рассмотрим теперь y = на Х =[0 £ x £ a ], а - произвольное > 0.

На этом сегменте y = - непрерывная и возрастающая. Следовательно, по теореме 3.5 множеством значений данной функции является сегмент Y = [0, ], на Y существует обратная функция х = = , возрастающая и непрерывная.

Так как " у > 0 $ a > 0 такое, что у Î [0, ], то функция х = определена, возрастает и непрерывна на [0, +¥).

Положим по определению = (" х > 0, любого натурального n и любого целого m).

Тем самым определена функция y = для рациональных показателей степени.

6) y = (a > 0, a ¹ 1)

Для рациональных х эта функция определна в пункте 5). Отметим, что для рациональных показателей степени r = функция обладает следующими свойствами:

1)
если > , то > при а > 1, > при 0< а < 1.

2) = .

3) = .

4) =1(по определению).

5) = (по определению).

6) = .

7) > 0 " r.

Определим теперь любого вещественного числа х.

Пусть х - любое вещественное число. Рассмотрим случай, когда a > 1. Рассмотрим множество { }, где r - любое рациональное число, такое, что r £ x. Это множество ограниченно сверху, и следовательно, имеет точную верхнюю грань.

Положим по определению: = { }

Можно было определить так: = { }

Дома доказать, что { }= { }.

Если 0 < a < 1, то > 1. По определнию положим " х: a^x = .

Можно показать,что функция a^x для любых вещественных х обладает такими же свойствами

1)- 7), как и для рациональных показателей степени.

В частности, a^x - возрастающая функция при а > 1 и a^x убывающая функция при 0 < a < 1.

Дкажем теперь непрерывность a^x для любого вещественного х. Для определённости рассмотрим случай а > 1, возьмём произвольное х = с и докажем сначала непрерывность a^x в точке с слева. Для этого нужно доказать, что " e > 0 $ левая полуокрестность точки с, в которой a^с - a^x < e.

(рисунок)

По определению, a^с = { a^r }. Зададим произвольное e > 0 и рассмотрим число a^с - e. По определению точной верхней грани найдется рациональное число < c: > a^с - e.

(рисунок)

Так как a^х - возрастающая функция, то " х Î { < x £ c }: a^х > > a^с -e,

откуда a^с - a^x < e при £ x £ c.

Непрерывность a^х в точке с слева доказана. Аналогично доказывается непрерывность a^х в точке с справа. Из непрерывности в точке с слева и справа следует непрерывность a^х в точке с.

Рассмотрим теперь функцию у = a^х на произвольном сегменте [ b, c ]. На этом сегменте эта функция строго монотонная и непрерывная. Следовательно, по теореме 3.5 множеством значений данной функции является сегмент Y = [ a^c, a^b ]. На Y существует обратная функция (она обозначается x = log _a y), строго монотонная и непрерывная. Так как " y > 0 $ b и c такие,

что y Î [ a^c, a^b ], то функция x = log _a y - сторого монотонная и непрерывная на полупрямой (0, +¥).

Если а = е, то логарифм называется натуральным и обозначается log _е x = ln x, а показательная функция е^х называется экспонентой.

7) Степенная функция с произвольным вещественным показателем.

у = х ^a (a - любое вещественное число).

Область определения Х = { x > 0}.

Так как х ^a = е ^{aln x} = е^t, где t = aln x, то у = х ^a непрерывна в любой точке х > 0 как суперпозиция двух непрерывных функций.

Рассмотренные элементарные функции называются основными элементарными функциями.

Любая функция, которая получается из основных элементарных функций в результате конечного числа арифметических операций и суперпозиций - называется элементарной функцией, а множество всех элементарных функций называется классом элементарных функций.

Из теоремы о непрерывности сложной функции и теоремы об арифметических действиях над непрерывными функциями следует, что любая элементарная функция непрерывна во всякой точке, в окрестности которой она определена.

Например, у = (sin x)^{ln tg x}. непрерывна во всех точках x,

в которых sin x > 0 и tg x > 0.

Рассмотрим функцию y = , её область определения

Х = { x = 2p n, n Î Z }, то есть эта функция определена в точках, которые не являются предельными точками области определения.

(рисунок)

Поэтому данная функция не является непрерывной в этих точках.