Значение доходности акций трех фирм за 10 шагов расчета

 

 

Вычислим ожидаемые (средние арифметические) доходности акций наших трех фирм:

 

 

или 10,5%;

 

Аналогичные вычисления для акций "Веги" и "Сириуса" дают:

 

= 0,128, или 12,8%; = 0,194, или 19,4%.

Измерение риска отдельной акции портфеля. Доходность оцениваемой акции за будущий холдинговый период равняется ожидаемой доходности с определенной долей вероятности, значит, существует риск того, что реализованная доходность акции, вычисленная по окончании будущего холдингового периода, будет отличаться от ожидаемой величины . Мерой такого риска выступает дисперсия доходности акции, вычисляемая как ожидаемая (средняя арифметическая) величина квадратов отклонения величин от ожидаемой доходности акции :

 

 

Поскольку ожидаемая доходность акции выражается в процентах, а размерность дисперсии – квадрат процента, то для адекватного сравнения доходности и риска акции используют в качестве меры риска величину стандартного отклонения s:

 

 

Вычислим дисперсии и стандартные отклонения доходностей акций наших трех фирм:

 

= =0,014

 

= = 0,118.

 

Аналогичные вычисления для двух других акций дают:

 

= 0,019 и = 0,138; = 0,036 и = 0,189

 

При оценке инвестиционной привлекательности акций следует предпочесть ту из них, которая обеспечивает более высокую ожидаемую доходность и меньший уровень риска. Однако на практике более доходные акции часто имеют и более высокий уровень риска. В этом случае инвестиционный выбор можно сделать с использованием коэффициента отклонения CV:

 

,

 

показывающего, какая доля риска приходится на один процент ожидаемой доходности. Предпочесть следует ту акцию, которая имеет наименьшее значение CV.

 

Для наших акций получаются следующие значения:

 

 

То есть предпочесть следует акцию С.

 

Измерение доходности и риска портфеля. Чтобы найти доходность и риск всего портфеля инвестору, прежде всего, необходимо определить, какую долю из имеющейся у него на момент t суммы денег S_{начальн.} он направит на приобретение той или иной акции портфеля. Предположим, что инвестор располагает суммой S_{начальн.} =10 тыс. рублей и решает сумму S_a направить на приобретение акции А, а сумму S_b – на покупку акции В. Принято долю:

 

,

 

направленную на приобретение акций "А", называть весом акции А в портфеле. Соответственно является весом акций "В" в портфеле. Тогда для любой i -ой акции портфеля ее вес:

 

.

 

Очевидно, что если в портфель включено n акций, то сумма весов всех акций портфеля должна равняться единице:

 

Доходность портфеля. Пусть в портфель объединяются n акций. На инвестиционной терминологии данная фраза означает, что в портфель включены акции n эмитентов. Так, если в формируемый портфель будет включено 10 акций фирмы «А», 20 акций «В» и 30 акций «С», то считается, что такой портфель содержит 3 акции. Алгебраически под ожидаемой доходностью портфеля понимается средневзвешенное значение ожидаемых величин доходности акций, входящих в портфель:

,

где:

- ожидаемая доходность портфеля;

- вес i-ой акции в портфеле;

- ожидаемая доходность i-ой акции;

n - число акций в портфеле.

 

Если инвестор решит сформировать портфель из акций трех компаний и разделить начальный капитал между ними в пропорции: W_a =0,1; W_b =0,35; W_c =0,55, то:

 

E(r_a+b+c) =0,1×0,105+0,35×0,128+0,55×0,194=0,162

 

Измерение риска портфеля. Риск портфеля оценивается с помощью дисперсии его доходности . При определении риска портфеля следует учитывать, что дисперсию портфеля нельзя найти как средневзвешенную величину дисперсий доходностей входящих в портфель акций. Это объясняется тем, что дисперсия портфеля зависит не только от дисперсий доходностей входящих в портфель акций, но также и от взаимозависимости доходности акций портфеля друг с другом.

В статистике меру взаимозависимости двух случайных величин измеряют с помощью ковариации и коэффициента корреляции. Если оценивается ковариация s_i,j доходностей акций i и j портфеля за N шагов расчета, то ковариация подсчитывается по формуле:

 

,

 

где:

r_i,t и r_j,t - наблюдаемые доходности ценных бумаг i и j в момент времени t;

E(r_i), E(r_j) - ожидаемые доходности ценных бумаг;

N - общее количество шагов наблюдений.

Высчитаем ковариации между доходностями акций "А", "В" и "С":

 

=

 

= 1/9× [(0,120?0,105)×(?0,080?0,128)+(?0,040?0,105)×(0,240?0,128)+ (0,010?0,105)×(0,210?0,128) + (0,330?0,105)×(?0,020?0,128) +

+ (0,100?0,105)×(0,130?0,128) + (0,270?0,105)×(?0,030?0,128) + (0,090?0,105)×(0,200?0,128) + (?0,010?0,105)×(0,340?0,128) +

+ (0,130?0,105)×(0,220?0,128) + (0,050?0,105)×(0,070?0,128)]=?0,012.

 

Аналогичные вычисления дают: s_a,c = -0,006; s_b,c = +0,006

Часто при определении степени взаимосвязи двух случайных величин используют относительную величину - коэффициент корреляции ρ_i,j:

 

 

Значения изменяются в пределах:?-1 < < +1 и не зависят от способов подсчета величин и , . Чем ближе значения к величине +1, тем сильнее эта взаимосвязь. Когда = +1, то считается, что ценные бумаги i и j имеют абсолютную положительную корреляцию: в этом случае значения годовых доходностей r_i,t и r_j,t связаны положительной линейной зависимостью, то есть любым изменениям r_i,t всегда соответствуют пропорциональные изменения r_j,t в тех же направлениях. При = -?1 наблюдается абсолютная отрицательная корреляция, когда r_i,t и r_j,t связаны отрицательной линейной зависимостью. Когда =0, то отсутствует какая-либо взаимосвязь между нормами отдачи двух ценных бумаг.

В общем виде дисперсия портфеля, состоящего из n ценных бумаг, выражается формулой:

 

 

Если вспомнить, что коэффициент корреляции = / , то эту формулу можно представить в виде:

 

Предположим для примера, что инвестор формирует портфель из трех ценных бумаг акций компаний "А";, "В"; и "С";. При этом из имеющейся у него первоначальной суммы инвестиций он тратит Wa = 0,2 на акции "А", Wb = 0,3? на акции фирмы "В"; и Wc = 0,5?на акции "С";. Чему равен риск и ожидаемая доходность E (r _n ) такого портфеля? Проведем вычисления, используя ранее полученные величины:

 

E(r_n) = W_a×E(r_a)+W_b×E(r_b)+W_c×E(r_c) = 0,2×0,105+0,3×0,128+0,5×0,194 = 0,156 или 15,6%.

 

 

=0,04×0,014+0,09×0,019+0,025×0,036+2×0,2×0,3×(?0,012)+2×0,2×0,5×(?0,006)+2×0,3×0,5×0,006=0,0104