Применить тест ранговой корреляции Спирмена для оценки гетероскедастичности

Если в модели регрессии больше чем одна объясняющая переменная, то проверка гипотезы о наличии гетероскедастичности осуществляется отдельно для каждой из них.

Значения х_i и модуль ε_iранжируются (упорядочиваются по величинам). Затем определяется коэффициент ранговой корреляции:

 

где d_i — разность между рангами х_i и ε_i, i = 1, 2,..., п;

п — число наблюдений.

Выдвигается нулевая гипотеза о равенстве коэффициента корреляции для генеральной совокупности нулю, т.е. Н₀: = 0.

Для проверки гипотезы рассчитывается статистика Стьюдента:

 

Если расчетное значение t превышает табличное с числом степеней свободы v=n-2, то необходимо отклонить гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции , а, следовательно, и об отсутствии гетероскедастичности.

 

Для присвоения ранга значениям факторов и остатка воспользуемся функцией РАНГ (число; ссылка; порядок).

Число – это число, для которого определяется ранг;

Ссылка – это массив или ссылка на список чисел. Нечисловые значения в списке игнорируются;

Порядок – это число, определяющее способ упорядочения.

§ Если порядок равен 0 или опущен, то Excel определяет ранг числа так, как если бы ссылка была списком, отсортированным в порядке убывания.

§ Если порядок – любое не нулевое число, то Excel определяет ранг числа так, как если бы ссылка была списком, отсортированным в порядке возрастания.

 

Ранжируем значения фактора х₃ и значения остатков.

Ввод аргументов статистической функции РАНГ представлен на рисунке 6.

 

 

Рисунок 6 – Диалоговое окно функции РАНГ

 

 

Рисунок 7 – Результаты расчета коэффициента ранговой корреляции Спирмена для х₃ и ε;

 

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена для х₃ и ε; составляет .

Проверим значимость полученного коэффициента с помощью t-статистики Стьюдента: .

По таблице распределения Стьюдента определили t_кр(0,05; v=18) = 2,101.

Так как t_расч < t_кр, то гипотеза о равенстве нулю коэффициента корреляции не может быть отвергнута, следовательно, можно сказать об отсутствия гетероскедастичности для х₃.

Проверка гипотезы о наличии гетероскедастичности для фактора х₄.

 

 

Рисунок 8 – Результаты расчета коэффициента ранговой корреляции Спирмена для х₄ и ε;

 

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена для х₄ и ε; составляет .

t-статистика Стьюдента: .

Так как t_расч < t_кр, то гипотеза о равенстве нулю коэффициента корреляции не может быть отвергнута, следовательно, можно сказать об отсутствия гетероскедастичности и для х₄.

 

3. Применить тест Голдфельда-Квандта.

 

Тест Голдфелда-Квандта состоит в следующем:

1. Все п наблюдений упорядочиваются по величине той независимой переменной, относительно которой есть подозрение на гетероскедастичность.

2. Вся упорядоченная выборка после этого разбивается на три подвыборки размерностей k, (п -2k), k соответственно.

3. Оцениваются отдельные регрессии для первой подвыборки (k первых наблюдений) и для третьей подвыборки (k последних наблюдений).

Рассчитывается сума квадратов остатков по первой и третьей подвыборки: , .

4 Для сравнения соответствующих дисперсий строится следующая F-статистика:

 

 

При сделанных предположениях относительно случайных отклонений, построенная F-статистика имеет распределение Фишера с числами степеней свободы v₁=v₂=k-m-l.

Если

то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется.

 

Применим тест Голдфелда-Квандта отдельно для каждой переменной.

Для фактора х₃.

Для ранжирования значений фактора х₃ и установления соответствующего y и х₄ можно воспользоваться Данные / Сортировка списков (по возрастанию). В диалоговом окне «Сортировка диапазона» в строке «Сортировать по» выберите фактор, по которому следует упорядочить данные, в нашем случае х₃.

Рекомендуется данные для сортировки поместить в новый лист т.к. ячейки переупорядочиваются в соответствии с заданным порядком сортировки.

 

 

Рисунок 9 – Результат сортировки значений факторов по фактору х₃

 

Разобьем 20 наблюдений на 3 подвыборки объемами 8: 4: 8 соответственно.

Для первой и третьей рассчитаем уравнения регрессии и сумму остатков. Результаты расчетов представлены на рисунке 10 - 11.

 

 

Рисунок 10 – Результат применения инструмента Регрессия для первой подвыборки

 

 

Рисунок 11 – Результаты вычислений суммы квадратов отклонений для первой и третьей подвыборок, упорядоченных по х₃

 

Так как то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности для х₃ принимается.

 

Аналогично проверим гипотезу об отсутствии гетероскедастичеости для х₄.

 

 

Рисунок 11 – Результаты вычислений суммы квадратов отклонений для первой и третьей подвыборок, упорядоченных по х₄

 

Так как то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности для х₃ не отклоняется.