Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду

Чтобы привести матрицу линейного оператора к диагональному виду необходимо, чтобы базис , в котором эта матрица является диагональной, состоял только из собственных векторов этой матрицы. Замена матрицы ей диагональной называется приведением матрицы к диагональному виду. Эта замена состоит в нахождении невырожденной матрицы такой, что выполняется равенство или

. (2.7)

Матрицу линейного оператора можно привести к диагональному виду в том и только в том случае, если сумма размерностей всех собственных подпространств оператора равна размерности линейного пространства, в котором рассматривается этот оператор.

При этом имеет место равенство (2.7), где матрица имеет вид

,

– собственные значения матрицы с учетом их алгебраических кратностей; – матрица, столбцами которой являются собственные векторы, соответствующие собственным значениям .

Задание 19. Выяснить, можно ли матрицу привести к диагональному виду переходом к новому базису. Если это можно сделать, то найти новый базис и соответствующее линейное преобразование.

19.1.	19.2.	19.3.
19.4.	19.5.	19.6.
19.7.	19.8.	19.9.
19.10.	19.11.	19.12.
19.13.	19.14.	19.15.
19.16.	19.17.	19.18.
19.19.	19.20.

Тема №3. Квадратичные формы

Теоретические вопросы темы

1. Квадратичные формы, их матрицы, координатная и матричная формы записи. Ранг квадратичной формы.

2. Канонический вид квадратичной формы. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

3. Метод ортогональных преобразований для приведения квадратичной формы к каноническому виду.

4. Знакоопределенные и знакопеременные квадратичные формы, необходимые и достаточные условия. Критерий Сильвестра. Закон инерции.

5. Преобразование кривых 2-го порядка к каноническому виду ортогональным преобразованием.