Матрицы, определители и их приложение к исследованию и решению

систем линейных алгебраических уравнений»

 

Для студентов направлений бакалавриата

 

Уфа 2012

 

УДК 378.147:51

ББК 74.58:22.1

М34

 

Рекомендовано к изданию методической комиссией механического факультета (протокол № 9 от 27 июля 2012 года) и заседанием кафедры математики (протокол № 7 от 10 апреля 2012 года)

 

 

Составители: ст. преподаватель, к.т.н. Валиахметова Ю.И.

ст. преподаватель Карамов В.И.

 

 

Рецензент: доцент кафедры физики Юмагужин Р.Ю.

 

 

Ответственный за выпуск: зав. кафедрой математики

доцент Лукманов Р.Л.

 

Предварительно приведем вопросы по разделу, на которые следует ответить перед решением задач и на зачете.

1. Основные понятия, связанные с матрицами (матрица-строка, матрица-столбец, определитель квадратной матрицы и т.п.)

2. Сложение матриц и умножение матрицы на число. Свойства этих действий.

3. Умножение матриц и его свойства.

4. Вычисление определителей второго, третьего и высших порядков.

5. Обратная матрица, ее строение.

6. Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений, решение ее с помощью обратной матрицы.

7. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы, по формулам Крамера и методом Гаусса.

8. Исследование системы уравнений первой степени общего вида; основная и расширенная матрицы; ранг матрицы; теорема Кронекера-Капелли.

 

Далее рассмотрим образец решения некоторых типовых задач.

Задача 1. Вычислить определитель

Решение. По формуле получим:

Ответ. 59.

Задача 2. Вычислить определитель

Решение. Используя формулу треугольников

получим:

Ответ. -25.

Задача 3. Вычислить определитель .

Решение. Третий столбец определителя содержит два нулевых элемента. Используя теорему Лапласа, разложим определитель по этому столбцу:

 

.

Ответ. -36.

Задача 4. Вычислить определитель .

Решение. Упростим определитель:

Раскладываем определитель по первому столбцу:

Вынесем общий множитель (5) первого столбца за знак определителя. Получим:

Ответ. -150.

 

Задача 5. Исследовать систему линейных уравнений; если она совместна, то найти ее общее и одно частное решение.

Решение. Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

Так как , то система совместна и является неопределенной.

Количество главных переменных равно , количество свободных переменных равно .

Выберем какой-нибудь отличный от нуля минор второго порядка полученной матрицы , например, минор . Его столбцы – первый и второй столбцы матрицы - соответствуют переменным и - это будут главные переменные, а и - свободные переменные.

Заметим, что в качестве главных переменных в данном примере нельзя выбрать пару и , т.к. любой соответствующий им минор равен нулю:

 

, , .

Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:

Перепишем ее в виде:

или

Обозначим свободные переменные: через , через . Запишем общее решение системы:

; частное решение при .

Ответ. – общее решение, – частное решение системы уравнений.

Задача 6. Исследовать систему линейных уравнений:

Решение. Приведем к ступенчатому виду расширенную матрицу системы:

Т ак как , то система несовместна (не имеет решений). В самом деле, последней строке полученной расширенной матрицы соответствует уравнение , не имеющее решений.

Ответ: система несовместна.

Задача 7. Найти общее решение однородной системы линейных уравнений:

Решение. Приведем матрицу системы к ступенчатому виду:

Так как , то система является неопределенной. В качестве главных переменных можно выбрать и , соответствующие столбцам ненулевого минора второго порядка: ; в качестве свободных переменных – и .

Запишем систему, соответствующую полученной матрице:

Из второго уравнения получим . Подставляя это выражение в первое уравнение, получим .

Обозначая свободные переменные: через , через , запишем общее решение системы:

или

.

Ответ. .