Влияние монохроматичности на когерентность

В рамках рассмотренных нами представлений длина когерентности по порядку величины должна равняться длине цуга волны. Однако экспериментально легко установить, что свет с длиной волны, в котором имеются волны, отличающиеся, длиной не более чем на 1 нм, характеризуется временем когерентности чему соответствует

Такое несоответствие наших представлений и эксперимента указывает на то, что мы не учли влияния каких-то очень существенных факторов. Оказывается, что таким фактором является немонохроматичность волны.

Действительно, представление о том, что все атомы тела излучают идентичные цуги волны с постоянной амплитудой, строго определенной частоты , в течение одинакового времени не соответствует действительности по ряду причин:

1. Энергия электрона в возбужденном состоянии атома не является (принципиально!) строго определенной. Поэтому различные атомы излучают волны различной частоты.

2. Излучающие атомы движутся, и длины их волн различны вследствие эффекта Доплера.

3. Но даже если пренебречь или исключить влияние этих причин, сама конечность времениизлучения атома приведет к тому, что излучение будет состоять не из одной частоты, а будет заключено в конечном диапазоне частот

Для объяснения этого фактора рассмотрим идеализированную ситуацию, когда свет состоит из последовательности идентичных цугов с постоянной амплитудой частоты и длительностью Фаза каждого нового цуга случайна. В такой ситуации время когерентности практически идентично длительности цуга :

Каждый цуг описывается функцией которая отлична от нуля только в течение времени и имеет вид, показанный на графике. конечна, интегрируема и, согласно теореме Фурье, может быть представлена в виде суперпозиции бесконечного числа гармонических составляющих с амплитудами, зависящими от частоты:

(5)

Интенсивность каждой гармонической составляющей пропорциональна квадрату её амплитуды . Для функции , описывающей, цуг волн частотой , длительностью зависимость имеет вид, показанный на рисунке. Интенсивность составляющих в частотном интервале

(6)

намного больше, чем у других. Поэтому называют эффективным частотным диапазоном Фурье-спектра:

Очевидно, что чем больше , тем уже максимум на графике, только при в спектре излучения будет присутствовать одна частота. Именно поэтому гармоническая волна представляет собой математическую абстракцию, поскольку должна быть бесконечной во времени и пространстве.

Итак, в силу соотношения (6), длительность цуга можно связать с эффективным частотным диапазоном фурье-спектра :

(7)

Но в нашем случае , поэтому

(8)

и можно считать, что чем шире интервал частот составляющих, присутствующих в данной волне, тем меньше . Другими словами, в течении немонохроматическую волну приближенно можно считать монохроматической.

Приближенно можно представить себе, что, за время составляющие с частотами становятся противофазными, т. е. волна перестает быть когерентной самой себе.

Очевидно, что если спектр составляющих волны будет расширен не за счет уменьшения длительности, а другим способом, то эффект уменьшения все равно будет наблюдаться.

Следовательно, если мы используем не строго монохроматический свет, то длина временной когерентности и время когерентности у него будет намного меньше времени существования цуга и его длины.

Найдем связь не с частотным интервалом а с диапазоном длин волн , присутствующих в излучении. Поскольку

Поэтому конечные связаны соотношением:

, (9)

и время когерентности определяется соотношением:

(10)

Тогда длина временной когерентности определяется соотношением:

(11)

Вернемся к примеру, о котором шла речь выше. При , получаем:

,

в соответствии с экспериментальным значением.

На основе изложенных представлений, можно утверждать, что число полос интерференции, наблюдаемых при наложении частей одной и той же волны, можно связать со степенью монохроматичности света. Действительно, если максимум m -го порядка уже не различим, то это означает, что разность хода достигла длины когерентности:

Поэтому