Уравнение линейной регрессии

Это означает построение уравнения

y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ +... + b_mx_m, (2)

которое называется уравнением линейной регрессии. При подстановке в это уравнение значений факторных переменных i -го наблюдения получим величину

y_i = b₀ + b₁x_i1 + b₂x_i2 +... + b_mx_im, (3)

которая не будет совпадать с наблюдаемым значением y_i. Разность между наблюдаемым значением y_i и значением, рассчитанным по уравнению регрессии, называется остатком в наблюдении i и обозначается e_i:

e_i=y_i – . (4)

Используя соотношение (4), наблюдаемые значения y_i можно представить как

y_i = + e_i = b₀ + b₁x_i1 + b₂x_i2 +... + b_mx_m + e_i. (5)

При построении нормальной линейной модели множественной регрессии учитываются пять условий:

1) факторные переменные x_1i…x_mi – неслучайные или детерминированные величины, которые не зависят от распределения случайной ошибки модели регрессии b_i;

2) математическое ожидание случайной ошибки модели регрессии равно нулю во всех наблюдениях: , ;

3) дисперсия случайной ошибки модели регрессии постоянна для всех наблюдений: ;

4) между значениями случайных ошибок модели регрессии в любых двух наблюдениях отсутствует систематическая взаимосвязь, т.е. случайные ошибки модели регрессии не коррелированны между собой (ковариация случайных ошибок любых двух разных наблюдений равна нулю):

, (i ≠ j);

5) на основании третьего и четвёртого условий часто добавляется пятое условие, заключающееся в том, что случайная ошибка модели регрессии – это случайная величина, подчиняющейся нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией.