Елементи симетрії кристалів.

 

Давайте з’ясуємо, що таке симетрія взагалі. Симетрія – це властивість тіла суміщатися із самим собою під час деяких операцій або перетворень симетрії.

З однією операцією симетрії ми вже зустрічались на початку лекції – це трансляційна симетрія. Зсув всієї нескінченної кристалічної гратки на основні вектори трансляції суміщає її із собою.

Наступні елементи симетрії мають назву точкових, оскільки при операції хоча б одна точка не змінює свого положення. При цьому якщо трансляційна симетрія обов'язкова для будь-якого кристала, ці елементи симетрії не є обов'язковим атрибутом кожного кристала. Їхній набір у різних кристалів різний і можуть бути кристали, що їхній не мають. Але їх наявність значно спрощує дослідження властивостей кристалу.

1) Вісь симетрії n-го порядку. Пряма, що проходить в тілі, називається його віссю симетрії n -го порядку, якщо тіло суміщається із собою при повороті навколо цієї прямої на кут . Кристал може мати осі симетрії 2, 3, 4 і 6 – го порядків. Природно, як будь-яке тіло він має і вісь симетрії 1-го порядку. Осі інших порядків кристал не має тому, що вони не сумісні з трансляційною симетрією. Як ілюстрацію до цього можна навести так званий рисунок Кеплера для осі 7-го порядку, або аналогічну побудову для осі 5-го порядку.

Довести наявність саме таких осей симетрії можна наступним чином. Візьмемо два сусідні вузли і . Якщо через вузол проходить вісь порядку, то така ж вісь може бути проведена і через вузол . Повернемо гратку на кут навколо вузла . Вузол переміститься на місце , а на місце прийде інший вузол. Точка теж є вузлом ґратки, оскільки при повороті гратка повинна суміститися із собою. Повернемо тепер гратку навколо точки в інший бік на той самий кут . Отримаємо точку . Якщо точки і співпадуть, отримаємо рівнобічний трикутник. Кути у ньому рівні і становлять 60°. Отже, , , маємо вісь симетрії 6 порядку. Якщо ж точки і не співпадуть, то відстань має бути кратною відстані . Фігура у загальному випадку є трапецією (бічні сторони рівні і кути при одній з основ рівні), тому легко переконатися, що

.

Оскільки відстані кратні, величина має бути цілим числом. Якщо , звідси , причому . Такій умові задовольняють числа –1, 0, 1, 2, 3. Для кожного з них

 

 

Тіло може мати відразу декілька різних осей симетрії. Безпосередньо з зображення куба на малюнку видно, що він має три осі 4-го порядку. Ці осі проходять через центри граней і паралельні сторонам куба. Він також має чотири осі 3-го порядку, що збігаються з діагоналями куба.

Сукупність всіх елементів симетрії тіла називають його групою симетрії. Для позначення груп симетрії використовують дві системи позначень:розроблену Шенфлісом і міжнародну. Якщо група симетрії містить тільки одну вісь симетрії n - порядку, то її позначення за Шенфлісом є C_n, де C походить від слова “циклічна” (cyclic). Міжнародне позначення групи - n. Таким чином, позначення група симетрії призми на малюнку є C ₃ чи 3.

Розглянемо інші елементи симетрії, що може мати кристал.

2) Дзеркальна площина. Якщо відображення від якоїсь площини переводить кожний вузол гратки в його дзеркальне зображення, то площина називається дзеркальною. Група симетрії тіла на малюнку зводиться до такого елемента. Її міжнародне позначення m (від mirror - дзеркало). По Шенфлису – C _{1 h} . Розуміти останнє позначення треба так: поворот на 2p навколо вертикальної осі (C ₁), потім дзеркальне відображення відносно горизонтальної площини (h – horizontal). Сама по собі горизонтальність тут не має принципового значення. Кристал завжди можна так перевернути у просторі, що віддзеркалюватись він буде від горизонтальної осі.

3) Центр інверсії. Нехай є деяка точка, від якої ми будемо відраховувати радіус вектор . Якщо тіло інваріантне операції , то точка відліку називається центром інверсії. Косокутний паралелепіпед на малюнку, має центр інверсії, що знаходиться в центрі паралелепіпеда. Позначення за Шенфлісом C_i (i від inversion - інверсія) і міжнародне - .

Це елементарні точкові операції симетрії. Буває, що окрема операція не є елементом симетрії, але в комбінації з іншою такою стає. Отже розглянемо такі варіанти.

4) Інверсійна вісь n-го порядку. Тіло з таким елементом симетрії суміститься із собою при повороті на кут навколо осі і наступної інверсії щодо вузла, що лежить на цій осі. Призма на малюнку має інверсійну вісь 4-го порядку, а на другому малюнку - 6-го порядку. Позначення групи з тільки інверсійною віссю n-го порядку за Шенфлісом і міжнародне - C_ni і . Зрозуміло, що центр інверсії, введений у попередньому пункті є тотожним інверсійної осі 1-го порядку. У зв'язку з цим стають зрозумілим раніше введене позначення центра інверсії .

5) Дзеркально-поворотна вісь n-го порядку. Тіло з таким елементом симетрії суміститься із собою при повороті навколо осі на кут і наступному дзеркальному відображенні в площині перпендикулярної ції осі. Позначення за Шенфлісом S_n (S – Spiegel, німецькою - дзеркало). На попередніх малюнках зображені тіла з S ₄ і S ₆. Однак, ці тіла мають, як говорилося в попередньому пункті, мають інверсійні осі четвертого і третього порядків. У чому ж тут справа? Різні операції симетрії можуть бути тотожними, і ми саме спостерігаємо такі випадки.

Сукупність точкових елементів симетрії, які має тіло, називається його точковою групою симетрії. Якщо до цих елементів симетрії додати ще елементи симетрії, при яких жодна точка тіла не залишається нерухомою, наприклад, при трансляції на вектори ґратки, то ми отримаємо просторову групу симетрії.

Симетрія покладена в основу класифікації кристалів. Зараз ми перейдемо до вивчення класифікації кристалів, отже