Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам одинакового объема. Критерий КочренаПусть генеральные совокупности Xlt Ха, ..., Х[ распределены нормально. Из этих совокупностей извлечено I независимых выборок одинакового объема л и по ним найдены исправленные выборочные дисперсии sf, si s®, все с одинаковым числом степеней свободы k = п — 1. Требуется по исправленным дисперсиям при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой: Я0: D (Х\) = D (Ха) =•...= D (Х{). Другими словами, требуется проверить, значимо или незначимо различаются исправленные выборочные дисперсии. В рассматриваемом случае выборок одинакового объема можно по критерию Фишера—Снедекора (см. § 8). сравнить наибольшую и наименьшую дисперсии; если окажется, что различие между ними незначимо, то подавно незначимо и различие между остальными дисперсиями. Недостаток этого метода состоит в том, что информация, которую содержат остальные дисперсии, кроме наименьшей и наибольшей, не учитывается. Можно также применить критерий Бартлетта. Однако, как указано в § 20, известно лишь приближенное распределение этого критерия, поэтому предпочтительнее использовать критерий Кочрена, распределение которого найдено точно. Итак, в качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем критерий Кочрена—отношение максимальной исправленной дисперсии к сумме всех исправленных дисперсий: G = SU/(Si4S?+...+S?). Распределение этой случайной величины зависит только от числа степеней свободы k = п — 1 и количества выборок I. Критическую область строят правостороннюю, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости: Р [G > GKp (a; k, 0] = а. Критическую точку GKP(a;fe,/) находят по таблице приложения 8, и тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством G > GKP, а область принятия нулевой гипотезы — неравенством G < GKp. Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через Gm6 л и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы. Правило. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить гипотезу об однородности дисперсий нормально распределенных совокупностей, надо вычислить наблюдаемое значение критерия и по таблице найти критическую точку. Если G„ абл < С к р—нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если GHa6jI>GKp — нулевую гипотезу отвергают. Замечание. Если требуется оценить генеральную дисперсию, то при условии однородности дисперсий целесообразно принять в качестве ее оценки среднюю арифметическую исправленных выборочных дисперсий. Пример. По четырем независимым выборкам одинакового объема п = 17, извлеченным нз нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные дисперсии: 0,26; 0,36; 0,40; 0,42. Требуется: а) при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу об однородности генеральных дисперсий (критическая область — правосторонняя); б) оценить генеральную дисперсию. Решение, а) Найдем наблюдаемое значение критерия Кочре- на — отношение максимальной исправленной дисперсии к сумме всех дисперсий: бнабл = 0,42/(0,26 + а,36 0,40 + 0,42) = 0,2917. Найдем по таблице приложения 8, по уровню значимости 0,05, числу степеней свободы к =17—1 = 16 и числу выборок 1 = 4 критическую точку GKp(0,05; 16; 4) =0,4366. Так как GHaвл < GKp—-нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу об однородности дисперсий. Другими словами, исправленные выборочные дисперсии различаются незначимо. б) Поскольку нулевая гипотеза справедлива, в качестве оценки генеральной дисперсии примем среднюю арифметическую исправленных дисперсий: о2 = (0,26 + 0,36+0,40 + 0,42)/4 = 0,36.
|
