Пример. Платность распределения двумерной случайной величиныПХ' *) = я» О+*■>(»+»■)' Найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник (рис. 18) с вершинами К (1; 1), L(V 3; l), М (1; 0) и N (У~3; 0). Решение. Искомая вероятность р«х. пеЧ-J у „,(,+J)(1+i,t). fc^ (О) Свойства двумерной плотности вероятности Свойство 1. Двумерная плотность вероятности неотрицательна: f(x, у)>0. Доказательство. Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами Да: и Д у есть неотрицательное число; площадь этого прямоугольника — положительное число. Следовательно, отношение этих двух чисел, а значит, и их предел (при Ах —►О и Д у —*-0), который равен f ( х, у) (см. § 9), есть неотрицательное число, т. е. f(x, у)> 0. Заметим, что свойство непосредственно следует из того, что F (х, у) — неубывающая функция своих аргументов (§ 4). Свойство 2. Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности равен единице: J 5 / (х, у) dx dy = 1. Оо — оо Доказательство. Бесконечные пределы интегрирования указывают, что областью интегрирования служит вся плоскость хОу, поскольку событие, состоящее в том, что" случайная точка попадет при испытании на плоскость хОу, достоверно, то вероятность этого события (она и определяется двойным несобственным интегралом от двумерной плотности) равна единице, т. е. J J f(x, у) dx dy = 1. 00—00 Пример. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y): f (х, у) =С cos х cos у в квадрате 0«^*<п/2, 0 <у*Сл/2; вие этого квадрата f (х, у) — 0. Найти постоянный параметр С. Решение. Воспользуемся свойством 2, учитывая, что х и у изменяются от 0 до я/2: С 5 5 cos х cos у dxdy = 1. /Я/i я/2 ifc с \ С = I /(\ COS**** \ соя у dy ]. Выполнив интегрирование, получим искомое значение параметра С= 1.
|
