Далее показано, как найти распределение функции по известному распределению дискретного и непрерывного аргумента.

Пусть аргумент X —дискретная слу­чайная величина.

а) Если различным возможным значениям аргумента X соответствуют различные возможные значения функции У, то вероятности соответствующих значений X и К между собой равны.

Пример 1. Дискретная случайная величина X задана распреде­лением

X 2 3 р 0,6 0,4

Найти распределение функции У — X^й.

Решение. Найдем возможные значения У:у_х = 2² = 4; у_г — 3²= = 9. Напишем искомое распределение У:

У 4 9 р 0,6 0,4

б) Если различным возможным значениям X соответ­ствуют значения У, среди которых есть равные между собой, то следует складывать вероятности повторяющихся значений У.

Л —2 2 3 р 0,4 0,5 0,1

Найти распределение функции У = Х^г.

Решение. Вероятность возможного значения y_i = 4 равна сумме вероятностей несовмесгных событий Х = —2, Х — 2, т. е. 0,4-j-0,5= = 0,9. Вероятность возможного значения г/₂ = 9 равна 0,1. Напишем искомое распределение Y\

Y 4 9 р 0,9 0,1

Пусть аргумент X— непрерывная слу­чайная величина. Как найти распределение функ­ции Н = <р(Х), зная плотность распределения случайного аргумента X? Доказано: если у — ц>(х) —дифференцируе­мая строго возрастающая или строго убывающая функция, обратная функция которой х = ^(у), то плотность рас­пределения g(y) случайной величины У находится с по­мощью равенства

g(У) = f [У (y)]W (У)|-

Пример 3. Случайная величина X распределена нормально, при­чем ее математическое ожидание а = 0. Найти распределение функ­ции Y = X³.

Решение. Так как функция у = х * дифференцируема и строго возрастает, то можно применить формулу

g (</) = ПЧ¹ (У)] I Ч>' (У) I- (*)

Найдем функцию, обратную функции у = х³:

tM«/)=x = y^1/3.

Найдем f [л|> (у )]. По условию,

f (*) ₌!

А У 2п

f (г/)] = / [у^1/3] = —Г7=^ е~^у2/3^о *. (**)

А у 2л

Найдем производную обратной функции по у.

{y) = (y^lh)'=~г:. (***)

3г/^2/3

Найдем искомую плотность распределения, для чего подставим (**) и (***) и (*):

Замечание. Пользуясь формулой (*), можно доказать, что линейная функция Y — АХ + В нормально распределенного аргумен­та X также распределена нормально, причем для того чтобы найти математическое ожидание Y, надо в выражение функции подставить вместо аргумента X его математическое ожидание а:

М (Y) = Ла + fi;

для того чтобы найти среднее квадратическое отклонение Y, надо среднее квадратическое отклонение аргумента X умножить на модуль коэффициента при X:

о(П = | Л|о(Х).

Пример 4. Найти плошость распределения линейной функции Y— ЗХ + 1, если аргумент распределен нормально, причем математи­ческое ожидание X равно 2 и среднее квадратическое отклонение равно 0,5.

Решение. Найдем математическое ожидание Y:

М (К) = 3-2+1 =7.

Найдем среднее квадратическое отклонение Y:

a(Y) = 3-0,5=1,5 Искомая плотность распределения имеет вид

g(y)= ’ _e-(,-7)V[2.(1.5>M.

1,5 у 2л