Теорема умножения вероятностей

Рассмотрим два события: А и В; пусть вероят­ности Р (А) и Ра (В) известны. Как найти вероятность совмещения этих событий, т. е. вероятность того, что появится н событие А и событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема умножения.

Теорема. Вероятность совместного появления двух со­бытий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предпо­ложении, что первое событие уже наступило:

Р(АВ) = Р(А)Р_Л(В).

Доказательство. По определению условной веро­ятности,

Р_Л(В)^Р(АВ)/Р(А).

Отсюда

Р(АВ) = Р{А)Р_а{В). <•)

Замечание. Применив формулу (*) к событию В А, получим Р(ВА)=Р(В) Р_а (А), или, поскольку событие ВА не отличается от события АВ,

Р(АВ)=Р(В)Р_в(А). (**)

Сравнивая формулы (*) и (**)> заключаем о справедливости ра­венства

Р(А)Р_а(В)=Р(В)Р_в(А). (***)

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появи­лись:

Р (Л^И*...А_п) = Р (Л_г) P_At (Л,) P_AlAt (Л,)...

• • ■ PAiA,.. ■A_Jt__l (^в)>;

где PA_tA,...а_п__х{А_п) — вероятность события Л„, вычислен­ная в предположении, что события А_г, A_t,...,А_п^₁ на­ступили. В частности, для трех событий

Р{АВС) = Р(А)Р_Л (В) Р_АВ (С).

Заметим, что порядок, в котором расположены собы­тия, может быть выбран любым, т. е. безразлично какое событие считать первым, вторым и т. д.

Пример 1. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероят­ность того, что первый из взятых валиков—конусный, а второй — эллиптический.

Решение. Вероятность того, что первый валик окажется ко­нусным (событие А),

Р(А) = 3/10.