Критерий ожидаемого значения.

Использование критерия ожидаемого значения обусловлено стремлением максимизировать ожидаемую прибыль (или минимизировать ожидаемые затраты). Использование ожидаемых величин предполагает возможность многократного решения одной и той же задачи, пока не будут получены достаточно точные расчетные формулы. Математически это выглядит так: пусть Х — случайная величина с математическим ожиданием MX и дисперсией DX. Если x₁, x₂,..., x_n — значения случайной величины (с.в.) X, то среднее арифметическое их (выборочное среднее) значений x^=(x₁+x₂+...+x_n)/n имеет дисперсию DX/n. Таким образом, когда n→∞ DX/n→∞ и X→MX.

Другими словами при достаточно большом объеме выборки разница между средним арифметическим и математическим ожиданием стремится к нулю (так называемая предельная теорема теории вероятности). Следовательно, использование критерия ожидаемое значение справедливо только в случае, когда одно и тоже решение приходится применять достаточно большое число раз. Верно и обратное: ориентация на ожидания будет приводить к неверным результатам, для решений, которые приходится принимать небольшое число раз.

Пример 1. Требуется принять решение о том, когда необходимо проводить профилактический ремонт ПЭВМ, чтобы минимизировать потери из-за неисправности. В случае если ремонт будет производится слишком часто, затраты на обслуживание будут большими при малых потерях из-за случайных поломок.

Так как невозможно предсказать заранее, когда возникнет неисправность, необходимо найти вероятность того, что ПЭВМ выйдет из строя в период времени t. В этом и состоит элемент»риска».

Математически это выглядит так: ПЭВМ ремонтируется индивидуально, если она остановилась из-за поломки. Через T интервалов времени выполняется профилактический ремонт всех n ПЭВМ. Необходимо определить оптимальное значение m, при котором минимизируются общие затраты на ремонт неисправных ПЭВМ и проведение профилактического ремонта в расчете на один интервал времени.

Пусть р_t — вероятность выхода из строя одной ПЭВМ в момент t, а n_t — случайная величина, равная числу всех вышедших из строя ПЭВМ в тот же момент. Пусть далее С₁ – затраты на ремонт неисправной ПЭВМ и С₂ — затраты на профилактический ремонт одной машины.

Применение критерия ожидаемого значения в данном случае оправдано, если ПЭВМ работают в течение большого периода времени. При этом ожидаемые затраты на один интервал составят

ОЗ = (C₁∑M(n_t)+C₁n)/T,

где M(n_t) — математическое ожидание числа вышедших из строя ПЭВМ в момент t. Так как n_t имеет биномиальное распределение с параметрами (n, p_t), то M(n_t) = np_t. Таким образом

ОЗ = n(C₁∑p_t+C₂)/T.

Необходимые условия оптимальности T^* имеют вид:

ОЗ (T^*-1) ≥ ОЗ (T^*),

ОЗ (T^*+1) ≥ ОЗ (T^*).

Следовательно, начиная с малого значения T, вычисляют ОЗ(

T), пока не будут удовлетворены необходимые условия оптимальности.

Пусть С₁ = 100; С₂ = 10; n = 50. Значенияp_t имеют вид:

T	рt	∑рt	ОЗ(Т)
	0.05		50(100⋅0+10)/1=500
	0.07	0.05
	0.10	0.12	366.7
	0.13
	0.18	0.35

T^*→3, ОЗ(Т^*)→366.7

Следовательно профилактический ремонт необходимо делать через T^*=3 интервала времени.

Критерий «ожидаемое значение — дисперсия».

Критерий ожидаемого значения можно модифицировать так, что его можно будет применить и для редко повторяющихся ситуаций.

Если х — с. в. с дисперсией DX, то среднее арифметическое x^ имеет дисперсию DX/n, где n — число слагаемых в x^. Следовательно, если DX уменьшается, и вероятность того, что x^ близко к MX, увеличивается. Следовательно, целесообразно ввести критерий, в котором максимизация ожидаемого значения прибыли сочетается с минимизацией ее дисперсии.

Пример 2. Применим критерий «ожидаемое значение — дисперсия» для примера 1. Для этого необходимо найти дисперсию затрат за один интервал времени, т.е. дисперсию

з_Т=(C₁∑n_t+C₂n)/T

Т.к. n_t, t = {1, T-1} — с.в., то з_Ттакже с.в. С.в. n_tимеет биномиальное распределение с M(n_t) = np_tи D(n_t) = np_t(1–p_t). Следовательно,

D(з_Т) = D((C₁∑n_t+C₂n)/T) = (C₁/T)² D(∑n_t) =

= (C₁/T)² ∑Dn_t = (C₁/T)² ∑np_t(1-p_t) = (C₁/T)² {∑p_t - ∑p_t²},

где С₂n = const.

Из примера 1 следует, что

М(з_Т) = М(з(Т)).

Следовательно искомым критерием будет минимум выражения

М(з(Т)) + к D(з_Т).

Замечание. Константу «к» можно рассматривать как уровень не склонности к риску, т.к. «к» определяет «степень возможности» дисперсии Д(з_Т) по отношению к математическому ожиданию. Например, если предприниматель, особенно остро реагирует на большие отрицательные отклонения прибыли вниз от М(з(Т)), то он может выбрать «к» много больше 1. Это придает больший вес дисперсии и приводит к решению, уменьшающему вероятность больших потерь прибыли.

При к=1 получаем задачу

M(з(T))+D(з(T)) = n { (C₁/T+C₁²/T²)∑p_t - C₁²/T²∑p_t² + C²/T }

По данным из примера 1 можно составить следующую таблицу

T	pt	pt2	∑pt	∑pt2	М(з(Т))+D(з(Т))
	0,05	0,0025			500.00
	0,07	0,0049	0,05	0,0025	6312,50
	0,10	0,0100	0,12	0,0074	6622,22
	0,13	0,0169	0,2	0,0174	6731,25
	0,18	0,0324	0,35	0,0343	6764,00

Из таблицы видно, что профилактический ремонт необходимо делать в течение каждого интервала Т^*=1.