Определение промежуточных собственных значений методом итераций

Найдя наибольшее собственное значение, можно определить следующее за ним по величине, заменив исходную матрицу мат­рицей, содержащей лишь оставшиеся собственные значения. Используем для этого метод, называемый методом исчерпывания. Для исходной симметричной матрицы A с известным наиболь­шим собственным значением l₁ и собственным вектором X ₁ мож­но воспользоваться принципом ортогональности собственных векторов, т. е. записать

Х _i^T Х _j =0 при i<>j и Х _i^T Х _j =1 при i=j.

Если образовать новую матрицу A* в соответствии с формулой

A* =A- l₁ Х ₁ Х ₁^T,

то ее собственные значения и собственные векторы будут связаны соотношением

А^* X _i =l_i X _i.

Из приведенного выше выражения для матрицы A* следует, что

A* Х _i = A Х _i - l Х ₁ Х ₁^T X _i.

Здесь при i = 1 свойство ортогональности позволяет привести правую часть к виду

A Х ₁ - l₁ Х ₁.

Но по определению собственных значений матрицы A это выра­жение должно равняться нулю. Следовательно, собственное значение l₁ матрицы A* равно нулю, а все другие ее собственные значения совпадают с собственными значениями матрицы A. Таким образом, матрица A* имеет собственные значения 0, l₂, l₃,..., l_n и соответствующие собственные векторы Х₁, Х₂, Хз,....... Х_n. В результате выполненных преобразований наибольшее собственное значение l₁ было изъято, и теперь, чтобы найти сле­дующее наибольшее собственное значение l₂, можно применить к матрице A* обычный итерационный метод. Определив l₂ и Х ₂, повторим весь процесс, используя новую матрицу A**, получен­ную с помощью A*, l₂ и Х ₂. Хотя на первый взгляд кажется, что этот процесс должен быстро привести к цели, он имеет сущест­венные недостатки. При выполнении каждого шага погрешности в определении собственных векторов будут сказываться на точ­ности определения следующего собственного вектора и вызы­вать накопление ошибок. Поэтому описанный метод вряд ли применим для нахождения более чем трех собственных значений, начиная с наибольшего или наименьшего. Если требуется полу­чить большее число собственных значений, следует пользоваться методами преобразования подобия.