Ступенчатый профиль показателя преломления

Стандартная процедура разделения переменных состоит в представлении возможных решений, например, для E_z компонент, в виде:

, (78)

где A – постоянный множитель.

Так же как и в случае прямоугольных волноводов предположим, что зависимость от координаты z имеет вид

, (79)

где β; – постоянная распространения световой волны вдоль направления оптической оси.

Также, вследствие симметрии конструкции волновода, каждая компонента поля не должна меняться при изменении угла φ; на 2 π;, поэтому

. (80)

В уравнении (79), постоянная величина ν; может принимать только целочисленные значения: ν=0, ±1, ±2, …, т.к. поле должно быть периодическим при изменении φ; с периодом 2 π;.

Подставляя (79) и (80) в (77), получаем:

. (81)

Это хорошо известное выражение, решениями которого являются функции Бесселя. Точно такое же уравнение имеет место и для H_z. Рассмотрим однородный сердечник волокна с показателем преломления равным n ₁ с радиусом a, окруженным оболочкой с радиусом, существенно превышающим размер сердечника с показателем преломления n ₂. В этом случае характер распространения световых волн не зависит от радиуса оболочки по причине быстрого затухания световых волн в этой среде. Кроме того, реальные световые волокна имеют радиус оболочки значительно больший, чем радиус сердцевины.

Вначале надо определить, какие из функций Бесселя являются подходящими в этом случае. Если q – действительное число, то решениями уравнения (81) являются либо

- функция Бесселя первого рода, или

- функция Бесселя второго рода.

Число ν;, которое может принимать только целочисленные значения, называется порядком функции, а qr – аргументом функции. Графики функций J_ν (qr) и Y_ν (qr) для нескольких первых значений ν; приведены на рис.18, 19.

рис.18. График функций Бесселя первого рода для действительного значения q при значениях ν;=0, 1, 2.

рис.19. График функций Бесселя второго рода для действительного значения q при значениях ν;=0, 1, 2.

Можно видеть, что за исключением J ₀ все остальные функции Бесселя первого рода стремятся к нулю при стремлении к нулю аргумента функций. При этом только J ₀ стремиться к единичному значению. С другой стороны, функции Бесселя Y_ν расходятся при стремлении аргумента к нулю, поэтому они должны быть исключены из решения задачи. Функции первого рода монотонно уменьшаются при стремлении аргумента к бесконечности, поэтому правильная комбинация этих функций является решением для распределения светового поля внутри сердечника оптоволокна.

Решениями уравнения Бесселя, которые появляются при решении внешней краевой задачи (оболочка оптоволокна)

, (82)

являются модифицированные функции Бесселя I_ν (qr) и K_ν (qr) первого и второго рода. Графики этих функций показаны на рис.20, 21.

рис.20. Модифицированные функции Бесселя первого рода I_ν (qr) для действительного значения q при значениях ν;=0, 1, 2.

рис.21. Модифицированные функции Бесселя второго рода K_ν (qr) для действительного значения q при значениях ν;=0, 1, 2.

Из рассмотрения графиков 20 и 21 следует, что I_ν (qr) неограниченно возрастает при стремлении аргумента к бесконечности. С другой стороны, функция K_ν (qr) быстро стремится к нулю при увеличении аргумента. Т.к. мы ищем ограниченное решение внешней краевой задачи для оболочки, то единственными подходящими функциями в этом случае являются модифицированные функции Бесселя второго рода K_ν (qr).

Т.о., для r < a решениями задачи распространения света по оптоволокну являются функции Бесселя первого рода J_ν (ur) порядка ν;. При этом u ²= k ₁²- β;², где k ₁=2π n ₁/ λ;, λ; – длина световой волны в вакууме. Выражения для E_z и H_z внутри сердцевины волновода (r<a) имеет вид:

(83)

. (84)

Вне сердцевины, т.е. в области оболочки решениями будут модифицированные функции Бесселя второго рода, K_ν (wa), где w ²= β;²- k ₂², k ₂=2π n ₂/ λ;:

(85)

, (86)

где A, B, C, D – произвольные постоянные, определяющиеся из граничных условий.

Для световых мод, распространяющихся по оптоволокну, константы распространения мод удовлетворяют условию β;₂< β;< β;₁ вне и внутри сердцевины волокна. Если n ₂ k ≤ β;≤ n ₁ k, то распространение светового поля внутри сердцевины имеет осциллирующий характер и энергия поля быстро уменьшается по мере проникновения в оболочку волокна. В этом случае световая энергия поля сосредоточена в основном в сердцевине и распространяется без потерь вдоль оптоволокна.