Задания для расчетно-графической работы СФ ЧГУ 2013-2014 учебный год

По дисциплине Теория Упругости и пластичности (преподаватель Максимова Л.А.)

 

 

Работа состоит из четырех задач, включающих: исследование плоского напряженно-деформированного состояния в точке тела для элементов конструкций типа тонкой пластины, оболочки, балки-стенки и др.; пространственного напряженного состояния в точке тела сооружений типа массива, грунтового основания и т.д.; решение плоской задачи теории упругости в декартовых и полярных координатах; решение задачи поперечного изгиба прямоугольных и круглых пластин; расчет осесимметричных оболочек вращения по безмоментной теории. В решение задачи 1 включены так же расчеты с использованием теории малых упругопластических деформаций. Каждая задача включает 30 вариантов.

 

в

ЗАДАЧА 1. Плоское напряженно-деформированное состояние в точке тела

 

Условие. В некоторой частице тела (элемента конструкции типа плиты, оболочки, балки-стенки и др.) задано напряженное состояние в виде тензора напряжений

. (1.1)

 

Значения напряжений даны в табл. 1.1 в соответствии с номером варианта, который задается по списку студенческой группы, составленному преподавателем. Значения напряжений заданы формулами:

 

где N – номер варианта.

В задаче 1 напряжения принимаются равными нулю.

 

Требуется:

 

1. Графически изобразить напряжения на гранях малого элемента тела с учетом их фактических направлений.

2. Определить главные напряжения и направления, пользуясь формулами:

, (1.2)

. (1.3)

При необходимости перенумеровать главные напряжения в порядке убывания по алгебраической величине:

. (1.4)

3. Проверить величины главных напряжений, как напряжений в системе осей повернутых на угол α;, по формулам:

 

(1.5)

 

Изобразить графически главные площадки и главные нормальные напряжения.

Определить напряжения в системе осей, повернутых на угол , подставив в формулы (1.5) вместо угол .

 

 

Таблица 1.1

Величины напряжений к задачам 1 и 2

 

№ варианта	Напряжения, МПа
		-140	-190			-130
		-130	-180			-120
		-120	-170			-110
		-110	-160			-100
		-100	-150			-90
		-90	-140			-80
		-80	-130			-70
		-70	-120			-60
		-60	-110			-50
		-50	-100			-40
	-10	-40	-90			-30
	-20	-30	-80			-20
	-30	-20	-70			-10
	-40	-10	-60
	-50		-50
	-60		-40
	-70		-30		-10
	-80		-20		-20
	-90		-10		-30
	-100				-40
	-110				-50
	-120			-10	-60
	-130			-20	-70
	-140			-30	-80
	-150			-40	-90
	-160			-50	-100
	-170			-60	-110
	-180			-70	-120
	-190			-80	-130
	-200			-90	-140

Убедиться в том, что инварианты тензора напряжений сохраняются:

(1.6)

Третий инвариант вычисляется по обычным правилам раскрытия определителя третьего порядка.

4. Графически изобразить тензор напряжений в виде эллипсоида Ламе. Построить круги напряжений Мора, указать . Вычислить главные касательные напряжения

(1.7)

Указать эти величины на кругах Мора и обосновать их инвариантность.

5. Определить среднее нормальное напряжение

(1.8)

и разложить тензор напряжений на шаровой тензор и тензор-девиатор

, (1.9)

где компоненты тензора-девиатора напряжений вычисляются по формулам

, , ,

, , .

 

6. Вычислить на октаэдрических площадках нормальное напряжение

(1.10)

где – среднее напряжение, вычисляемое по формуле (1.8), касательное

(1.11)

а также интенсивность напряжений

. (1.12)

Сравнить и .

7. Пользуясь данными табл. 1.2 вычислить и занести в таблицу для каждой точки диаграммы пластический модуль , пластический коэффициент Пуассона (принимая условие упругого изменения объема), пластический модуль сдвига , используя формулы

(1.13)

где - интенсивность деформаций.

 

Таблица 1.2

 

Диаграмма растяжения тонкостенной трубки из стали 45

 

	Номер точки	(МПа)		(МПа)		(МПа)
		0,824	2,00	0,300	0,770
		1,12	2,00	0,300	0,769
	279,5	1,42	1,97	0,303	0,755
		1,73	1,85	0,315	0,703
		2,06	1,67	0,333	0,626
		2,66	1,32	0,368	0,484
		3,26	1,12	0,388	0,402
		4,16	0,928	0,407	0,330
		5,35	0,753	0,425	0,264
		6,56	0,663	0,434	0,231
		7,76	0,576	0,442	0,200
		8,96	0,506	0,449	0,174
		10,2	0,455	0,455	0,156
		12,0	0,398	0,460	0,136
		13,2	0,372	0,463	0,127
		13,8	0,359	0,464	0,123
		15,1	0,335	0,466	0,114
		16,2	0,319	0,468	0,109
		17,4	0,302	0,470	0,103
		18,6	0,288	0,471	0,098
	543,5	19,7	0,276	0,472	0,094
	550,5	20,9	0,263	0,474	0,089
		22,0	0,254	0,475	0,086
	566,5	23,8	0,238	0,476	0,081
	573,5	24,6	0,233	0,477	0,079

 

Обосновать, почему при растяжении тонкостенной трубки .

8. Начертить в масштабе графики зависимостей , , , . Определить по графикам предел пропорциональности материала и установить, в каком состоянии (упругом, упругопластическом) находится материал, используя условия пластичности Сен-Венана и Мизеса.

9. Определить деформации пользуясь обобщенным законом Гука для упругого материала

, ,

, , (1.14)

, .

или

,

, (1.15)

.

где ,

либо соотношениями теории малых упругопластических деформаций (ТМУПД) за пределом упругости

,

, (1.16)

.

где

 

10. Определить главные деформации по формулам

(1.17)

При необходимости перенумеровать главные деформации в порядке убывания по алгебраической величине:

(1.18)

Проверить величины главных деформаций по формулам для упругого материала

(), (1.19)

либо упругопластического материала

, (). (1.20)

11. Вычислить октаэдрический сдвиг

(1.21)

и сравнить его со значением, полученным по формулам

. (1.22)

для упругого или упругопластического материала соответственно.

Вычислить главные сдвиги

(1.23)

Сравнить величины и .

 

ЗАДАЧА 2. Пространственное напряженное состояние в точке тела

Условие. В некоторой частице тела (массива, сооружения, грунтового основания, в зоне контактных местных напряжений и т.д.) определены компоненты напряженного состояния, характеризуемые тензором напряжений

. (2.1)

 

Значения напряжений даны в таблице 1.1 в соответствии с номером варианта.

 

Требуется:

 

1. Графически изобразить компоненты тензора на гранях малого элемента тела с учетом их фактических направлений.

2. Определить среднее напряжение по формуле (1.8) и разложить тензор напряжений на шаровой тензор и девиатор напряжений по (1.9).

3. Определить октаэдрическое касательное напряжение

, (2.1)

модуль тензора-девиатора напряжений

(2.2)

интенсивность напряжений

(2.3)

4. Найти главные значения тензора-девиатора напряжений и главные напряжения

(2.4)

Угол φ определяется из формулы

(2.5)

где

(2.6)

- определитель матрицы тензора-девиатора напряжений.

5. Пользуясь экспериментальными данными табл. 1.2 установить, в каком состоянии (упругом, упругопластическом) находится частица тела согласно условиям пластичности Сен-Венана и Мизеса.