Тема 8. Элементы аналитической геометрии.

Прямая на плоскости. Различные уравнения прямой. Расстояние от точки до прямой. Взаимное положение прямых. Угол между прямыми. Основные задачи, связанные с построением уравнения прямой.

Плоскость в пространстве. Различные уравнения плоскости. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Расстояние от точки в пространстве до плоскости.

Прямая в пространстве. Различные уравнения прямой в пространстве. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Уравнения кривых второго порядка (окружность, эллипс, гипербола, парабола). Построение кривых второго порядка по заданным уравнениям.

Алгебраические поверхности 2-го порядка и их уравнения (сфера, эллипсоид, параболоиды, гиперболоиды, цилиндрические и конические поверхности).

 

Вопросы к экзамену по дисциплине

«Линейная алгебра»

1. Матрицы и действия над ними.
2. Обратная матрица. Ранг матрицы.
3. Собственные значения и собственные векторы матрицы.
4. Определители и их свойства. Методы вычисления определителей.
5. Квадратичные формы. Ортогональные и неопределенные квадратичные формы. Положительно определённые квадратичные формы.
6. Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду.
7. Система n- линейных алгебраических уравнений с n- неизвестными. Основные понятия. Теорема Кронекера-Капелли.
8. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
9. Матричный метод и метод Крамера решения системы линейных уравнений.
10. Система однородных линейных уравнений. Существование нетривиального решения. Фундаментальная система решений.

11. Квадратичные формы.

12. Комплексные числа. Действия над комплексными числами.

13. Тригонометрическая и показательная форма комплексных чисел. Формула Муавра. Вычисление корня из комплексного числа.

14. Декартова прямоугольная система координат. Определение вектора. Линейные операции над векторами.

15. Система линейно зависимых и линейно-независимых векторов. Разложение вектора по координатному базису.

16. Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов.

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой в отрезках. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным направлением. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Нормальное уравнение прямой.
2. Общее уравнение плоскости. Нормированное уравнение плоскости. Уравнение плоскости в отрезках. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение двух плоскостей.
3. Угол межу двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
4. Линии второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду.

21. Расстояние от точки до прямой и от точки до плоскости. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Расстояние от точки до плоскости.

22. Угол между двумя прямыми. Угол между прямой и плоскостью.

23. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

24. Линейные задачи оптимизации.

Литература.

Основная литература

1. Данко П. Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.- М.
2. «Общий курс высшей математики для экономистов» под ред. В.И. Ермакова. – М. «Индра-М», 2002.
3. Турецкий В.Я. Математика и информатика. – М.: ИНФРА-М, 2005.
4. Шипачев В.С. Высшая математика.- М., Высшая школа, 2005.
5. Шипачев В.С. Сборник задач по высшей математике – М. Высшая школа, 2004

 

Дополнительная литература

1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике.
2. Красс М.С. Чупрынов Б.П. Математика для экономистов.- Спб.: Питер, 2007.
3. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т. и др. Сборник задач по высшей математике.1 курс.- М.: Айрис-пресс, 2003.
4. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т. и др. Сборник задач по высшей математике.2 курс.- М.: Айрис-пресс, 2007.

Типовые варианты контрольных работ

Контрольная работа №1: «Матричная алгебра»

Задание 1. Найти и 2А + 3В, если

Задание 2. Вычислить определитель

Задание 3. Найти ранг матрицы

 

Контрольная работа №2: «Системы линейных уравнений»

 

Задание 1. Решить систему (если это возможно) методом Крамера и методом обратной матрицы

Задание 2. Решить систему методом Гаусса

Задание 3. Найти фундаментальную систему решений системы уравнений: