Ортогональность собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям самосопряженного линейного преобразования.
Будем вести индукцию по n. В случае n =1 любое преобразование имеет вид Поэтому любой ненулевой вектор х является собственным, и доказывать нечего. Предположим, что утверждение теоремы верно для симметрических преобразований в евклидовом пространстве размерности n-1, и в этом предположении докажем его для евклидова пространства размерности n. Прежде всего возьмем какое-либо собственное значение λ1 симметрического преобразования f. По теореме о действительности корней уравнения симметрической матрицы λ1 – действительно число. Пусть а 1 – соответствующий собственный вектор.
Обозначим через S – множество всех векторов
Из сказанного следует, что действие f на всем пространстве V можно при желании сузить до действия f на подпространстве S. Применяя предположение индукции, получим, что в S существует ортогональный базис
|
, ортогональных к а 1
Так как подпространство S есть ортогональное дополнение к линейной оболочке L(а 1), то его размерность равна n-1. Покажем, что это подпространство выдерживает действие f. Это означает, что если 
, то 
. Действительно,
, состоящий из собственных векторов преобразования, т.е.
это доказывает нашу теорему.
