- Во-первых, раскладываем знаменатель на множители.
Здесь все методы хороши – от вынесения за скобки, применения формул сокращенного умножения, до подбора корня и последующего деления столбиком (при знаменателе в виде многочлена с рациональными коэффициентами степени выше второй). Об этом подробнее в разделе теории – разложение многочлена на множители.
В нашем примере все просто – выносим х за скобки.
- Во-вторых, раскладываемую дробь представляем в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами.
Здесь стоит рассмотреть виды выражений, которые могут быть у Вас в знаменателе. - Если в знаменателе что-то вроде этого
, количество линейных множителей роли не играет, (будь их 2 или 22), то дробь представится в виде суммы простейших дробей первого типа:
a, b, c и d - числа, A, B, C и D - неопределенные коэффициенты.
- Если в знаменателе что-то вроде этого
количество множителей роли не играет и не играют роли степени этих множителей (хоть 221ая степень), то дробь представится в виде суммы простейших дробей первого и второго типов:
a, b, c - числа, 
- неопределенные коэффициенты.
Возьмите на заметку: какая степень – столько и слагаемых.
- Если в знаменателе что-то вроде этого
количество квадратичных выражений роли не играет, то дробь представится в виде суммы простейших дробей третьего типа:
p, q, r и s - числа, P, Q, R и S - неопределенные коэффициенты.
- Если в знаменателе что-то вроде этого
количество множителей роли не играет и не играют роли степени этих множителей, то дробь представится в виде суммы простейших дробей третьего и четвертого типов:
p, q, r и s - числа, 
- неопределенные коэффициенты.
ОБЫЧНО ВСТРЕЧАЕТСЯ КОМБИНАЦИЯ ЭТИХ ВАРИАНТОВ (как правило, довольно простая).
- Если собрать все в кучу
,то дробь представится в виде суммы простейших дробей всех четырех типов:
Хватит теории, на практике все равно понятнее.
Пришло время вернуться к примеру. Дробь раскладывается в сумму простейших дробей первого и третьего типов с неопределенными коэффициентами A, B и C.
- В-третьих, приводим полученную сумму простейших дробей с неопределенными коэффициентами к общему знаменателю и группируем в числителе слагаемые при одинаковых степенях х.
То есть, пришли к равенству:
При x отличных от нуля это равенство сводится к равенству двух многочленов
А два многочлена являются равными тогда и только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях совпадают.
- В-четвертых, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х.
При этом получаем систему линейных алгебраических уравнений с неопределенными коэффициентами в качестве неизвестных:
- В-пятых, решаем полученную систему уравнений любым способом (методом Гаусса, Крамера, методом подстановки), который нравится Вам, находим неопределенные коэффициенты. О решении систем линейных уравнений подробнее в разделе – решение систем линейных алгебраических уравнений.
- В-шестых, записываем ответ.
P.S.
Пожалуйста, не ленитесь, проверяйте ответ, приводя к общему знаменателю полученное разложение.
Метод неопределенных коэффициентов является универсальным способом при разложении дроби на простейшие.
Очень удобно использовать метод частных значений, если знаменатель представляет собой произведение линейных множителей, то есть имеет вид схожий с
Рассмотрим на примере, чтобы показать плюсы этого метода.
Пример.
Разложить дробь 
на простейшие.
