Обратное Z-преобразование

Обратное Z -преобразование определяется соотношением

где – символическое обозначение обратного Z -преобра­зования;

– любой замкнутый контур в области сходимости подынтегральной функции, охватывающий все ее особые точки (см. п. 1.4.2) и начало координат комплексной z -плоскости.

Существуют упрощенные способы вычисления обратного Z -преобразования, заменяющие непосредственное сложное вычисление интеграла по замкнутому контуру; наиболее простой из них основан на использовании таблицы соответствий (табл. 1.4), где последовательности представлены в нормированном времени (см. п. 1.1).

Поясним правило пользования табл. 1.4 на примерах.

Пример 1.6. Известно z -изображение

.

Требуется найти оригинал .

Решение. Представим дробно-рациональную функцию в виде суммы

 

Таблица 1.4

Таблица соответствий

№	Последовательность	z -изображение
		, где

 

(1.38)

и, пользуясь свойством линейности Z -преобразования, определим оригинал как сумму обратных Z -преобразований:

.

Оригинал

,

согласно табл. 1.4 (столбец 3 при ), а также свойству линейности Z -преобразования равен

. (1.39)

Оригинал

согласно табл. 1.4, (столбец 3 при ), а также свойству линейности Z - преобразования и теореме о задержке равен

.

Искомый оригинал равен сумме последовательностей и :

. (1.40)

С учетом нулевых начальных условий оригинал определяется следующим образом:

поскольку при значение определяется в области отрицательного времени

и, следовательно, при нулевых начальных условиях

.

1.4.2. Передаточная функция. Соотношение вход/выход

Основной характеристикой ЛДС в z -областиявляется z -изо­бражение импульсной характеристики

, (1.41)

которое определяется по формуле прямого Z-преобразования (1.22)

. (1.42)

При известном z -изображении импульсная характеристика находится с помощью обратного Z -преобразования

, (1.43)

где называют передаточной функцией (ПФ) ЛДС; это математическое определение ПФ.

Соотношение вход/выход ЛДС во временной области описывалось с помощью формулы свертки, либо в виде разностного уравнения. Рассмотрим поочередно их отображение в z -области.

Формуле свертки (см. п. 1.3.1)

в z - области соответствует уравнение (см. п. 1.4.1)

, (1.44)

где и – z -изображения воздействия и реакции.

На основании (1.44) передаточную функцию можно представить как отношение

, (1.45)

которое позволяет ее определить подобно передаточной функции линейных аналоговых систем.

Передаточной функцией ЛДС называется отношение
z-изображения реакции к z-изображению воздействия при нулевых начальных условиях.

Данное определение ПФ не противоречит приведенному математическому (1.42). Действительно, согласно определению, импульсная характеристика есть реакция на воздействие в виде цифрового единичного импульса .

Подставив z -изображения данных воздействия и реакции в (1.45) и учитывая, что (см. табл. 1.4), получим определение ПФ (1.42):

.

Разностному уравнению (1.15)

в z - области соответствует уравнение, которое можно получить, выполнив Z -преобразование правой и левой частей РУ:

.

Используя свойства Z -преобразования (линейность и теорему о задержке), запишем

,

откуда после приведения подобных имеем алгебраическое уравнение

. (1.45а)

Разделив обе части этого уравнения на , получим передаточную функцию общего вида

. (1.46)

ПФ (1.46) представляет собой дробно-рациональную функцию, числитель и знаменатель которой являются многочленами относительно порядков и соответственно с вещественными коэффициентами и . Следовательно, ПФ зависит исключительно от внутренних параметров ЛДС (см. п. 1.3.2) и не зависит ни от воздействия, ни от реакции.

Порядком ПФ называют наибольшее из чисел и . Здесь и далее полагаем, что порядок многочлена числителя не превосходит порядка многочлена знаменателя:

.

Передаточные функции 1-го и 2-го порядков описывают простейшие ЛДС, называемые звеньями 1-го и 2-го порядков соответственно.

Как любая дробно-рациональная функция, ПФ (1.46) характеризуется своими особыми точками (полюсами) и нулями.

Нулями ПФ называют значения z, при которых оказывается равной нулю.

Особыми точками (полюсами) ПФ называют значения z, при которых знаменатель оказывается равным нулю [1].

Картой нулей и полюсов называют изображение координат нулей (кружочками °) и полюсов (звездочками *) на комплексной z -плоскости. Как будет показано (см. пп. 1.5.5–1.5.6), такая карта является весьма важной графической характеристикой ЛДС.

1.4.3. Взаимосвязь передаточной функции
и разностного уравнения

Из сравнения передаточной функции (1.46) и соответствующего ей разностного уравнения (1.15) легко видеть, что:

- многочлен числителя ПФ связан с отсчетами воздействия ; при этом величина задержки i отсчета отображается степенью , а коэффициенты остаются неизменным; символически это соответствие можно записать следующим образом:

, ;

- многочлен знаменателя ПФ связан с отсчетами реакции и , при этом свободный член всегда равен 1:

,

так как в РУ он соответствует реакции (см. п. 1.4.2);

величина задержки k отсчета отображается степенью , а коэффициенты меняют знак; символически это соответствие можно записать следующим образом:

.

Пример 1.7. Дана передаточная функция общего вида. Записать соответствующее ей разностное уравнение:

- для звена 1-го порядка (числитель и знаменатель ПФ – многочлены 1-го порядка):

передаточной функции

(1.47)

соответствует разностное уравнение

; (1.48)

- для звена 2-го порядка (числитель и знаменатель ПФ – многочлены 2-го порядка):

передаточной функции

(1.49)

соответствует разностное уравнение

. (1.50)

Звено называют базовым, если числитель его передаточной функции равен 1.

ПФ базовых звеньев 1-го и 2-го порядков имеют вид соответственно:

; .

1.4.4. Передаточная функция
и импульсная характеристика звена 2-го порядка

Упрощенная методика определения импульсной характеристики по заданной передаточной функции предполагает, что взаимосвязь между ИХ и ПФ базовых звеньев известна из таблицы соответствий (см. табл. 1.4), в предположении, что:

– передаточная функция базового звена;

– импульсная характеристика базового звена.

Следовательно, передаточной функции базового звена 1-го порядка

соответствует импульсная характеристика

,

а передаточной функции базового 2-го порядка

соответствует импульсная характеристика

, (1.51)

где и j – радиус и угол комплексно-сопряженных полюсов

. (1.52)

Значения и j_*и и связаны между собой соотношениями (см. табл. 1.4)

; (1.53)

. (1.54)

Напомним (см. рис. 1.11), что угол полюса j есть нормированная частота .

Здесь и в дальнейшем будем использовать индексы звездочка и кружок для обозначения полюса и нуля соответственно.

Для записи ИХ небазового звена 2-го порядка достаточно воспользоваться свойствами линейности Z -преобразования и теоремой о задержке.

Тогда передаточной функции небазового звена 2-го порядка

будет соответствовать импульсная характеристика небазового звена 2-го порядка

(1.55)

или с учетом нулевых начальных условий