Волны пространственного заряда в пучках ограниченного сечения

Для построения теоретической модели ЛБВ достаточно рассмотреть тонкий электронный пучок, помещенный на оси идеально проводящего цилиндрического экрана, радиусы которых удовлетворяют условию:

a £ b << l, (2-20)

где a - радиус пучка, b - радиус экрана, l = 2pv₀ / w - длина волны пространственного заряда в пучке. Условие (2-20) позволяет устанавливать связь параметров пучка и волн в поперечном направлении в приближении электростатики. Так, вместо плотности объемного заряда r введем погонный заряд (заряд единицы длины пучка), q = dQ/dl, вместо плотности тока пучка j- ток пучка i, вместо напряженности электрического поля E - разность потенциалов между пучком и стенкой U. При этом продольное электрическое поле E_z =- ¶U/¶z, а поперечное E_r = - ¶U/¶r. Чтобы не рассматривать движение зарядов под действием E_r поперек пучка, наложим сильное статическое магнитное поле B_я® ¥, которое “заморозит” поперечное движение электронов, благодаря чему задача принимает одномерный характер.

Уравнения (2-1) - (2-3) в новых переменных примут вид:

уравнение движения

¶v_z/¶t + v₀¶v_z/¶z = (- e/m)¶U/¶z, (2-21)

уравнение непрерывности

¶q/dt = - ¶i/¶z, (2-22)

вместо уравнения Пуассона

U = q/C’ (2-23)

здесь конвекционный ток дается в линейном приближении:

i = q₀v_z + v₀q, (2-24)

а C’ - представляет собой погонную емкость пучка относительно экрана:

C’ = 2pe₀/ln(b/a). (2-25)

Искомое решение записывается, по-прежнему, в общем виде:

A = A_mexp[i(wt - gz)], (2-26)

подставляется в (2-21) - (2- 23) и затем решение полученной системы линейных алгебраических уравнений приводит к дисперсионному уравнению:

(w - gv₀)² = v_b²g² (2-27)

Уравнение имеет два решения для v_ф быстрой и медленной волн:

v_{ф 1,2}= v₀ ± v_b. (2-28)

Для эффективной передачи энергии пучка в электромагнитную волну скорость последней должна быть близка к скорости электронов пучка v₀ < c и кроме того, эта волна должна обладать продольной с пучком составляющей электрического поля. Одновременно этим требованиям может отвечать только замедленная волна. Простейшим видом замедляющей системы для электромагнитных волн является спираль (Рис.2-4а). Считается, что скорость распространения волны вдоль провода равна c. Волна, проходя по витку спирали путь s = [(2pa)² + h²]^1/2, продвигается по оси системы z на шаг спирали h. Отсюда фазовая скорость волны

v_ф = c h/s, (2-29)

а параметр ее замедления b = c /v_ф= 1/siny, где y - угол намотки спирали. Согласно (2-29) замедление в спирали определяется только ее геометрией и не зависит от частоты. Длина волны в спирали L:

L = 2p/g = l₀/b, (2-30)

где l₀ - длина электромагнитной волны в свободном пространстве. Спираль переносит волну зарядов на своей поверхности, знак которых меняется через L/2 (см.Рис.2-4б). Наибольшая напряженность поля волны сосредоточена вблизи самой спирали, наружу и внутрь от нее поле быстро (почти экспоненциально) убывает.

Итак, соответствие фазовых скоростей медленной электронной волны пучка и электромагнитной волны замедляющей системы

v₀ - v_b = c h/s

является необходимым условием, но не достаточным для построения теории ЛБВ, так как в этом выводе не учтена взаимная связь полей замедляющей структуры и конвекционного тока электронного пучка.