По изучению курса высшей математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное агентство по образованию

Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики

Кафедра «Математика и математические методы в экономике»

Элементы теории вероятностей и математической статистики

Учебное пособие

по изучению курса высшей математики

Санкт-Петербург

Одобрено на заседании кафедры «Математика и математические методы в экономике»

протокол № __ от __.__.2006г.

Утверждены Методическим советом ИЭУПС

протокол № __ от __.__.2006 г.

 

Учебное пособие охватывает основные разделы курса теории вероятностей и математической статистики. Данный курс читается студентам Университета Сервиса и Экономики. Пособие соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта к профессиональным образовательным программам по всем специальностям дневной и заочной форм обучения.

В учебном пособии излагаются основные понятия и методы, необходимые для анализа данных; на отдельных примерах рассматриваются постановки задач и их решение. Оно может быть использовано для первого знакомства с методами теории вероятностей и математической статистики.

Пособие дает представление об основных статистических методах, их возможностях и границах применения.

Внимательное ознакомление с данным методическим пособием поможет при выполнении контрольных заданий по теории вероятностей и математической статистике, так как разнообразные примеры в какой-то степени аналогичны задачам контрольных работ. Задания для контрольной работы представлены в конце пособия. Большинство задач по каждой теме иллюстрирует применение математических методов при исследовании экономических, социальных и т.д. процессов, при принятии управленческих решений. В процессе решения таких задач студент не только закрепляет и углубляет теоретические знания, полученные на лекциях, но и учится применять эти знания при постановке и решении конкретных практических задач.

В приложении к пособию приведен ряд таблиц, необходимых для выполнения контрольных работ.

 

Составители: В.Б. Дворяшин, к.ф.-м.н., доцент

Н.Ю.Кропачева, к.ф.-м.н., доцент

Г.А.Петросян, ст.преподаватель

 

Рецензенты: профессор кафедры МиММЭ СПбГУСЭ

д. ф.-м.н. А.И.Шерстюк

доцент кафедры общей математики и информатики

математико-механического факультета СПбГУ

к. ф.-м.н. Г.В.Павилайнен

 

Ó Санкт-Петербургский государственный университет
сервиса и экономики

2007 г.

Содержание

	стр.
Введение
Элементы комбинаторики
Элементы теории вероятностей
§ 1. Предмет теории вероятностей
§ 2. Случайные события
§ 3. Случайные величины и их числовые характеристики
§ 4. Двумерные случайные величины
§ 5.Закон больших чисел. Центральная предельная теорема
Элементы математической статистики
§ 1. Предмет математической статистики
§ 2. Выборочная совокупность и ее характеристики
§ 3. Законы распределения выборочных характеристик
§ 4. Статистическое оценивание числовых характеристик случайной величины и ее закона распределения
§ 5. Статистические гипотезы
§ 6. Методы регрессионного и корреляционного анализа
Варианты контрольных заданий
Рекомендуемая литература
Приложения: таблицы функций

 

Что ни толкуй Вольтер или Декарт

Мир для меня - колода карт,

Жизнь - банк; рок мечет, я играю,

И правила игры я к людям применяю.

М. Ю. Лермонтов

 

Замечательно, что наука, которая началась с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания... Ведь по большей части важнейшие жизненные вопросы являются на самом деле лишь задачами из теории вероятностей.

П.Лаплас

Введение

В своей практической деятельности мы часто встречаемся с явлениями, исход которых нельзя предсказать. Например: нельзя определить однозначно результат выпадения «орла» или «решки» в результате подбрасывания монеты, но при многократном подбрасывании выпадает примерно одинаковое число «орлов» и «решек». Изучение количественных закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, и составляет предмет теории вероятностей. В основе этой теории лежат специальные математические модели, в которых сопоставлению событий по степени их правдоподобия можно придать точный смысл. Впервые основы теории вероятностей были изложены последовательно французским математиком П.Лапласом (1749-1827) в книге «Аналитическая теория вероятностей».

Для решения задач, связанных с анализом информации при наличии фактора случайности, разработана совокупность методов, которая называется математической статистикой. Математическая статистика возникла в 17 веке и развивалась параллельно с теорией вероятностей. Между основными понятиями в математической статистике и теории вероятностей существует тесная взаимосвязь, которая обосновывает практическую ценность теории вероятностей и подтверждает теоретическую основу математической статистики.

Общим для статистических и вероятностных характеристик является техника их вычислений. Главное различие между ними состоит в том, что статистические характеристики относятся к эмпирическим, а вероятностные к теоретическим понятиям. Статистические характеристики - это величины, которые при соблюдении определенных условий стремятся к вероятностным. Вероятностные характеристики можно рассматривать как предельные значения сопоставимых им характеристик математической статистики при возрастании числа наблюдений или опытов.

Исследование математико-статистических моделей позволяет делать обоснованные выводы, решать задачи прогнозирования в различных сферах человеческой деятельности.

Элементы комбинаторики

В теории вероятностей часто приходится иметь дело с задачами, в которых необходимо подсчитать число всех возможных способов расположения некоторых предметов или число всех возможных способов осуществления некоторого действия. Задачи такого типа называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся решением таких задач, — комбинаторикой. Иначе: комбинаторика изучает вопрос о том, сколько различных комбинаций подчиненных тем или иным условиям можно составить из конечного числа различных элементов, безразлично какой природы. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики.

Пусть n - натуральное число. Через n! (читается «n-факториал») обозначается число, равное произведению всех натуральных чисел 1 от до n:

n! = 1 * 2 * 3 *... * n.

В случае если n=0, то по определению полагается: 0! = 1.

Пример. Найдем значения следующих выражений:

1! = 1

2! = 1 * 2 = 2

3! = 1 * 2 * 3 = 6

4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24

5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120

6! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 = 720.

Если n сравнительно велико (n>10),то часто n! вычисляют по формуле Стирлинга: , где p = 3,14159..., е = 2,71828..., точность которой улучшается с увеличением n. Так при n=5 по приближенной формуле получаем 118,019. Относительная ошибка при этом составляет 2%.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок вычисляется по формуле:

, где n! = .

Пример. Сколько различных десятизначных чисел можно составить из цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

Решение. Так как каждая цифра в обозначении числа встречается один раз и цифра 0 не должна занимать первое место, то из 10 цифр можно составить 10! различных чисел, в которых каждая цифра содержится один раз, но из общего количества полученных чисел 9! чисел начинаются цифрой 0. Следовательно, искомое количество чисел равно:

10! – 9! = 9 × 9! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9² = 3 265 920.

Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений вычисляется по формуле:

.