Критерий интегрируемости Дарбу

 

Предположим, что функция ограничена на отрезке (). Тогда для любого разбиения () этого отрезка определены числа

Величины

называются нижней и верхней интегральной суммой соответственно. Имеет место неравенство

для любой системы отмеченных точек . Так как точная нижняя грань на подотрезке больше или равна точной нижней грани на отрезке, а точная верхняя грань на подотрезке меньше или равна точной верхней грани на отрезке, то при измельчении разбиения нижняя интегральная сумма увеличивается, а верхняя уменьшается

Следствие. Существуют пределы

; ;

которые называются нижним и верхним интегралом.

Теорема 1. Интеграл существует тогда и только тогда, когда нижний интеграл совпадает с верхним интегралом ( ). В этом случае все три интеграла совпадают.

Доказательство. Импликация "тогда" следует из теоремы о пределе промежуточной последовательности и неравенств (2).

Докажем обратную импликацию. Пусть интеграл равен . Предположим, что S ≠ . Тогда , и, кроме того, . Выберем разбиение отрезка [a,b] с таким малым значением параметра l, что и

для любой системы отмеченных точек . Можно выбрать системы (ξ_i) и (ν_i) отмеченных точек так, что

Применяя неравенство треугольника, из соотношений (3) получаем .

Тогда

. Это противоречие показывает, что на самом деле нижний интеграл равен верхнему интегралу.□

Пример. Пусть

(функция Дирихле). Эта функция не интегрируема ни на каком отрезке, так как S =0, но .

Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке , если этот отрезок можно разбить на конечное число подотрезков точками так, что в каждой из точек функция имеет односторонние пределы, а в остальных точках отрезка функция непрерывна.

Теорема 2. Кусочно-непрерывная функция интегрируема на любом отрезке.

Доказательство. Аддитивность интеграла и его нечувствительность к изменению функции в конечном числе точек (см. предыдущий параграф) позволяют свести доказательство теоремы к случаю, когда -- непрерывная функция. Непрерывная функция на отрезке равномерно непрерывна («Введение в анализ»). Это значит, что для любого найдется такое, что как только и Пусть -- разбиение отрезка с параметром меньшим чем , а -- две системы отмеченных точек. Тогда

Отсюда следует, что верхняя интегральная сумма отличается от нижней не более чем на . Можно считать, что настолько мало, что и как только параметр разбиения меньше чем . Тогда

Итак, каково бы мало ни была положительная величина . Это может быть лишь в случае . Остаётся применить теорему 1. □