Теорема о полярном разложении линейного оператора в евклидовом линейном пространстве

Теорема: Пусть – конечномерное евклидово линейное пространство, , тогда существуют ортогональный оператор и самосопряженный оператор такие, что .

Лемма 1: Пусть – конечномерное евклидово линейное пространство, , тогда и самосопряженный линейный оператор на пространстве и все собственные значения вещественные и неотрицательные.

Замечание: Конечномерность линейного пространства необязательна, но для конечномерных пространств доказательство этой леммы проще.

Лемма 2: Пусть – конечномерное евклидово линейное пространство, , тогда .

Замечание: Конечномерность линейного пространства необязательна, в доказательстве теоремы достаточно включения .

Лемма 3: Пусть – конечномерное евклидово линейное пространство, и – два его ортонормированных базиса с матрицей перехода , тогда существует ортогональный эндоморфизм такой, что для всех , т.е. с относительно базиса .

Лемма 4: Пусть – конечномерное евклидово линейное пространство, а с диагональной матрицей с матрицей относительно ортонормированного базиса этого пространства, тогда – самосопряженный линейный оператор на .

Доказательство теоремы:

1. упорядочим собственные значения : ,

2. В линейном пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного линейного оператора , причем , при .

3.

при ,где – дельта Кронекера. Тогда ­ ортогональная система векторов, причем .

4. Положив при , получим ортонормированную систему векторов . Дополним эту систему до ортонормированного базиса в линейном пространстве .

5. Причем при , а , при , так как по лемме 2 . Т.е.

.

6. Заметим, что отображение имеет диагональную матрицу относительно ортонормированного базиса , а значит, согласно лемме 2, является самосопряженным.

7. и – два ортонормированных базиса существует ортогональный эндоморфизм такой, что для всех .

8.

Получили, что , где и .

PS. В п.8. – диаграмма, нарисовать ее в Word-е сложно, имеются в виду три отображения: ,

и .