Определение положения главных центральных осей и главных центральных моментов инерции фигуры.

Определим величины главных центральных моментов инерции всего сечения и по формулам:

см⁴;

см⁴;

Произведем проверку полученных вычислений по формуле

см⁴; см⁴.

Следовательно, сходимость вычислений точная, однако это еще не дает основания считать, что величины главных центральных моментов инерции определены верно.

Найдем значения углов, которые образуют главные оси и с центральной горизонтальной осью , т. е., другими словами, определим направление главных центральных осей и для всего сложного сечения:

· угол, образованный главной осью и центральной горизонтальной осью

;

;

· угол, образованный главной осью и центральной горизонтальной осью

;

.

Проверим правильность найденных углов по формуле

.

При этом возможны два варианта нахождения угла , на который необходимо повернуть центральные оси и , чтобы определить положение главных центральных осей и несимметричной фигуры:

1) осевые моменты инерции относительно центральных осей равны между собой, т. е. . Тогда

;

2) осевые моменты инерции относительно центральных осей не равны между собой, т. е. . Тогда

.

В обоих случаях будем иметь два значения угла (, ), отличающиеся на 90°, причем меньший из этих углов по абсолютной величине не превышает 45°.

В нашем случае, вследствие равенства осевых моментов инерции относительно центральных осей будем иметь

и ,

что полностью соответствует найденным выше значениям углов, следовательно, направление главных осей и найдено верно.

На чертеже (рис. 6) в выбранном масштабе через точку С проводим главные центральные оси, поворачивая центральную горизонтальную ось по часовой стрелке на угол (ось ) и против часовой стрелки на угол (ось ).

Рис. 6

В качестве проверки определим величину центробежного момента инерции всего заданного сечения относительно центральных осей и через главные центральные моменты инерции по формуле

см⁴.

Полученное значение центробежного момента инерции совпадает с ранее найденной величиной.

Проверим равенство нулю центробежного момента инерции всего заданного сечения относительно главных центральных осей и по формуле

.

Две последние проверки позволяют считать, что величины главных центральных моментов инерции и , а также положение главных центральных осей и , определены правильно.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица П1. Геометрические характеристики плоских сечений

Форма сечения	Площадь сечения	Координаты центра тяжести	Моменты инерции: осевые Jz, Jy; центробежный Jzy
1. Прямоугольник			*
2. Прямоугольный треугольник			**
3. Равнобедренный треугольник			*

 

Продолжение табл.П1

4. Круг			*
5. Полукруг			*
6. Четверть круга			**
Примечания: *) Центробежный момент инерции площади сечения относительно двух любых взаимно-перпендикулярных осей, из которых одна или обе являются осями симметрии, равен нулю (сечения 1, 3, 4, 5). **) При повороте координатных осей на 90° центробежный момент инерции, сохраняя свою величину, изменяет знак на обратный (сечения 2, 6).