приёмниках.

Методические указания к выполнению п.4.3

Расчёт потенциалов узловых точек трёхфазной цепи при несимметричных

приёмниках.

В случае несимметричных приёмников токи в их фазах и, вследствие этого, в фазах источника неодинаковы по действующим значениям и образуют несимметричные системы. Потенциалы точек N, n₁, n₂ неодинаковы, т.е. V _n1≠0, V _n2≠0, V _n1≠ V _n2. Поэтому расчёт методом эквивалентных преобразований аналогично пункту 4.1 невозможен.

Для расчёта цепи следует применить метод узловых потенциалов.

Сначала для всех комплексных сопротивлений схемы рис.1 следует найти соответствующие комплексные проводимости:

Y =1/ Z

Сопротивления заданы в таблице 1 задания. Проводимости следует рассчитывать с точностью до пятого знака после запятой.

Y _л=1/ Z _Л = (1+j0)/(3+j10) = 0,02752–j0,09174 См;

Y _a1=1/ Z _a1 = (1+j0)/(45+j22) = 0,01794–j0,00877 См;

Y _b1=1/ Z _b1 = (1+j0)/(42+j18) = 0,02011–j0,00862 См;

Y _c1=1/ Z _c1 = (1+j0)/(22–j38) = 0,01141–j0,01971 См;

Y ₂=1/ Z ₂ = (1+j0)/(40+j38) = 0,01314–j0,01248 См;

Y _ab=1/ Z _ab = (1+j0)/(122–j75) = 0,00595+j0,00366 См;

Y _bc=1/ Z _bc = (1+j0)/(83+j70) = 0,00704–j0,00594 См;

Y _ca=1/ Z _ca = (1+j0)/(57–j128) = 0,00290–j0,00652 См.

Уравнения метода узловых потенциалов записываются по следующим правилам:

1.Один узел принимается в качестве опорного (базисного). Его потенциал принимается равным нулю. В работе это узел N, V _N=0.

2.Количество уравнений равно количеству всех узлов, кроме опорного, т.е. пять: для узлов a, b, c, n₁, n₂.

3.В левой части уравнения для данного узла его потенциал со знаком плюс умножается на сумму проводимостей всех ветвей, присоединённых к данному узлу. Потенциалы всех других узлов, с которыми данный узел связан непосредственно, принимаются со знаком минус и умножаются на сумму проводимостей, соединяющих каждый другой узел с данным.

4. В правой части учитываются ветви, присоединённые к данному узлу, в которых есть источники ЭДС. Произведение ЭДС на проводимость своей ветви принимается со знаком плюс, если ЭДС направлена к данному узлу, и со знаком минус, если от него.

Уравнения, записанные по данным правилам, имеют вид:

V _a(Y _л+ Y _a1+ Y ₂+ Y _ab+ Y _ca) – V _b Y _ab – V _c Y _ca – V _n1 Y _a1 – V _n2 Y ₂ = E _A Y _л (1)

V _b(Y _л+ Y _b1+ Y ₂+ Y _bc+ Y _ab) – V _a Y _ab – V _c Y _bc – V _n1 Y _b1 – V _n2 Y ₂ = E _B Y _л (2)

V _c(Y _л+ Y _c1+ Y ₂+ Y _ca+ Y _bc) – V _a Y _ca – V _b Y _bc – V _n1 Y _c1 – V _n2 Y ₂ = E _C Y _л (3)

V _n1(Y _a1+ Y _b1+ Y _c1+ Y _л) – V _a Y _a1 – V _b Y _b1 – V _c Y _c1 – V _n2·0 = 0 (4)

V _n2(Y ₂+ Y ₂+ Y ₂) – V _a Y ₂ – V _b Y ₂ – V _c Y ₂ – V _n1·0 = 0 (5)

Системе уравнений (1) – (5) обязательно нужно придать упорядоченный вид:

Y ₁₁ V _a + Y ₁₂ V _b+ Y ₁₃ V _c + Y ₁₄ V _n1 + Y ₁₅ V _n2 = E _A Y _л (1a)

Y ₂₁ V _a + Y ₂₂ V _b+ Y ₂₃ V _c + Y ₂₄ V _n1 + Y ₂₅ V _n2 = E _B Y _л (2a)

Y ₃₁ V _a + Y ₃₂ V _b+ Y ₃₃ V _c + Y ₃₄ V _n1 + Y ₃₅ V _n2 = E _C Y _л (3a)

Y ₄₁ V _a + Y ₄₂ V _b+ Y ₄₃ V _c + Y ₄₄ V _n1 + Y ₄₅ V _n2 = 0+j0 (4a)

Y ₅₁ V _a + Y ₅₂ V _b+ Y ₅₃ V _c + Y ₅₄ V _n1 + Y ₅₅ V _n2 = 0+j0 (5a)

Коэффициенты системы (1а)–(5а) находятся из сопоставления с соответствующими членами уравнений (1)–(5). Коэффициенты при одинаковых потенциалах в уравнениях
(1) – (5) и в уравнениях (1а) – (5а) должны быть одинаковыми. Кроме того, нужно учесть свойство системы уравнений метода узловых потенциалов: коэффициенты, расположенные симметрично относительно главной диагонали, должны быть одинаковыми, т.е. Y _ij= Y _ji, где i–номер строки, j–номер столбца, например, Y ₁₂= Y ₂₁.

Отсюда получается:

Y ₁₁=(Y _л+ Y _a1+ Y ₂+ Y _ab+ Y _ca)=(0,02752–j0,09174)+(0,01794–j0,00877)+

+(0,01314–j0,01248)+(0,00595+j0,00366)+(0,00290+j0,00652)=

=0,06745–j0,10281 См;

Y ₁₂=– Y _ab=–0,00595–j0,00366 См;

Y ₁₃=– Y _ca= –0,00290–j0,00652 См;

Y ₁₄=– Y _a1= –0,01794+j0,00877 См;

Y ₁₅=– Y ₂= –0,01314+j0,01248 См;

E _A Y _л=(230+j0)(0,02752–j0,09174)=6,330–j21,100 А.

 

Y ₂₁=– Y _ab=–0,00595–j0,00366 См;

Y ₂₂=(Y _л+ Y _b1+ Y ₂+ Y _bc+ Y _ab)=(0,02752–j0,09174)+(0,02011–j0,00862)+

+(0,01314–j0,01248)+(0,00704–j0,00594)+(0,00595+j0,00366)=

=0,07376–j0,11512 См;

Y ₂₃=– Y _bc=–0,00704+ j0,00594 См;

Y ₂₄=– Y _b1=–0,02011+ j0,00862 См;

Y ₂₅=– Y ₂=–0,01314+ j0,01248 См;

E _B Y _л=(–115–j199,2)(0,02752–j0,09174)=–21,439+ j5,068 А.

 

Y ₃₁=– Y _ca=–0,00290–j0,00652 См;

Y ₃₂=– Y _bc=–0,00704+ j0,00594 См;

Y ₃₃ =(Y _л+ Y _c1+ Y ₂+ Y _ca+ Y _bc)=(0,02752–j0,09174)+(0,01141+ j0,01971)+

+(0,01314–j0,01248)+(0,00290+j0,00652)+(0,00704–j0,00594)=

=0,06201–j0,08393 См;

Y ₃₄=– Y _c1=–0,01141– j0,01971 См;

Y ₃₅=– Y ₂=–0,01314+j0,01248 См;

E _C Y _л=(–115+j199,2)(0,02752–j0,09174)=15,110+j16,032 А.

 

Y ₄₁=– Y _a1=–0,01794+j0,00877 См;

Y ₄₂=– Y _b1=–0,02011+j0,00862 См;

Y ₄₃=– Y _c1=–0,01141– j0,01971 См;

Y ₄₄= Y _a1+ Y _b1+ Y _c1+ Y _л=(0,01794–j0,00877)+(0,02011–j0,00862)+

+(0,01141+j0,01971)+(0,02752–j0,09174)=0,07698–j0,08942 См;

Y ₄₅=0+ j0 См.

 

Y ₅₁=– Y ₂=–0,01314+j0,01248 См;

Y ₅₂=– Y ₂=–0,01314+j0,01248 См;

Y ₅₃=– Y ₂=–0,01314+j0,01248 См;

Y ₅₄=0+j0 См;

Y ₅₅= Y ₂+ Y ₂+ Y ₂=3 Y ₂=(3+j0)(0,01314–j0,01248)=0,03942–j0,03744 См.

 

Коэффициенты системы (1а)– (5а) Y_ij целесообразно свести в таблицу:

 

	Столбцы j	Правые части
Строки i
	0,06745– –j0,10281	–0,00595 –j0,00366	–0,00290 –j0,00652	–0,01794 +j0,00877	–0,01314 +j0,01248	6,330 –j21,100
	–0,00595–j0,00366	0,07376–j0,11512	–0,00704 +j0,00594	–0,02011 +j0,00862	–0,01314 +j0,01248	–21,439 +j5,068
	–0,00290–j0,00652	–0,00704 +j0,00594	0,06201–j0,08393	–0,01141 –j0,01971	–0,01314 +j0,01248	15,110 +j16,032
	–0,01794 +j0,00877	–0,02011 +j0,00862	–0,01141 –j0,01971	0,07698–j0,08942	0+j0	0+j0
	–0,01314 +j0,01248	–0,01314 +j0,01248	–0,01314 +j0,01248	0+j0	0,03942–j0,03744	0+j0

 

Заполнение таблицы нужно проверить по свойству симметрии коэффициентов относительно главной диагонали, указанному выше.

Полученную систему уравнений (1а) – (5а) нужно решить с помощью предлагаемой программы для ЭВМ. Откройте папку «Matoper» и запустите на исполнение пакетный файл «matoper.bat». Следуйте указаниям программы; коэффициенты уравнений Y_ij и правые части вводите построчно.

Результат решения:

Х(1)= V _a; Х(2)= V _b; Х(3)= V _c; Х(4)= V _n1; Х(5)= V _n2.

В результатах решения Е+02=10² и т.п.

Результаты Х нужно округлить до пяти значащих цифр, а потенциалы нужно округлить до сотых долей вольта.

Х(1)=1,6939·10²–j7,1684·10¹=1,8394·10²e^–j22,9°;

V _a=169,39–j71,68=183,94e^–j22,9° В;

Х(2)=–1,1646·10²–j9,5867·10¹=1,5084·10²e^j219,5°;

V _b= –116,46–j95,87=150,84e^–j140,5° В;

Х(3)=–3,5943·10¹+j2,1294·10²=2,1595·10²e^j99,6°;

V _c= –35,94+j212,94=215,95e^j99,6° В;

Х(4)=–1,6986·10¹–j4,5378·10¹=4,8453·10¹e^j249,5°;

V _n1= –16,99–j45,38=48,45e^–j110,5° В;

Х(5)=5,6629·10⁰+j1,5130·10¹=1,6155·10¹e^j69,5°;

V _n2=5,66+j15,13=16,16e^j69,5° В.

Нужно проверить отсутствие ошибок при вводе данных подстановкой решения в одно из уравнений системы, например, в (1а):

Левая часть (1а):

Y ₁₁ V _a + Y ₁₂ V _b+ Y ₁₃ V _c + Y ₁₄ V _n1 + Y ₁₅ V _n2 =
=(0,06745–j0,10281)(169,39–j71,68)+(–0,00595–j0,00366)(–116,46–j95,87)+
+(–0,00290–j0,00652)(–35,94+j212,94)+(–0,01794+j0,00877)(–16,99–j45,38)+
+(–0,01314+j0,01248)(5,66+j15,13)=
=(4,056–j22,250)+(0,342+j0,997)+(1,493–j0,383)+(0,703+j0,665)+(–0,263–j0,128)=
=6,331–j21,099.

Правая часть (1а):

E _A Y _л=6,330–j21,100.

Полученное решение удовлетворяет уравнению (1а), можно продолжать решение задачи.