Примеры. 1. Написать формулу общего члена последовательности, если известны несколько ее первых членов: 3, 5

1. Написать формулу общего члена последовательности, если известны несколько ее первых членов: 3, 5, 7, 9, 11,....

Решение. Заданные числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом и разностью . По формуле (2) имеем .

2.Сумма первых членов последовательности выражается формулой . Доказать, что эта последовательность является арифметической прогрессией; найти ее первый член и разность.

Решение. Имеем .

Так как разность не зависит от номера , то данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью . Первый член прогрессии .

Определение. Последовательность , определенная первым элементом и рекуррентным соотношением , где – постоянное число (), называется геометрической прогрессией. Число называется знаменателем геометрической прогрессии.

Рекуррентное соотношение, определяющее геометрическую прогрессию, словами формулируется так: всякий член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное число . Формула общего члена геометрической прогрессии

доказывается также методом математической индукции. Формулы суммы членов геометрической прогрессии

имеют вид

; ,

а так как , то их можно записать в другом виде:

; .

Пример. В геометрической прогрессии 1; –2; 4; –8; 16 найти 11-й член и сумму 6 членов.

Решение. Найдем сначала знаменатель геометрической прогрессии. Для этого воспользуемся рекуррентным соотношением. Имеем

; = .

По формуле общего члена вычислим 11-й член , а затем вычислим сумму шести членов:

= .

 

Определение. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует число (число ) такое, что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству . Это можно записать так: . Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т. е. существуют числа такие, что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенствам .

Это можно записать так: .

Последовательность называется неограниченной, если она не является ограниченной хотя бы с одной стороны.

Примеры.

1. Последовательность , или, что то же, ограничена снизу, но не ограничена сверху .

2. Последовательность , или, что то же, ограничена сверху, но не ограничена снизу .

3. Последовательность < >, или, что то же, ограниченной, так как любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенствам .

4. Последовательность , или, что то же, , , , , …, , … – неограниченная. В самом деле, каково бы ни было число , среди элементов этой последовательности найдутся элементы, для которых будет выполняться неравенство .