Базис. Размерность линейного пространства

Определение 5. Всякую систему векторов линейного пространства X называют базисом, или базой, этого пространства, если:

1. система векторов линейно независима;

2. любой вектор x пространства X линейно выражается через векторы этой системы:

. (4)

Числа называются координатами вектора x относительно базиса . Число n базисных векторов в пространстве X называется размерностью пространства и обозначается символом dim X.

Задача 8. Доказать, что векторы вида: , , , образуют базис в пространстве .

Решение.

Докажем линейную независимость векторов .

Рассмотрим линейную комбинацию:

,

т.е. линейно независимы.

Покажем, что для любого вектора справедливо представление (4).

Пусть . Тогда , т.е. коэффициенты равенства (4) в данном примере совпадают с .

Таким образом, исходная система векторов является базисом в пространстве и dim =n.

 

Аналогично можно доказать следующие утверждения:

1. Многочлены , , , образуют базис в линейном пространстве , где K =R или K =C; .

2. В линейном пространстве матриц размерности базисом являются матрицы , , , где – матрица, на пересечении i-ой строки которой и j-го столбца стоит единица, а остальные элементы – нули.