Теорема умножения вероятностей. Теорема. Вероятность совместного наступления двух событий (АВ) равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность второго

 

Теорема. Вероятность совместного наступления двух событий (АВ) равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность второго, вычисленную в предположении, что первое событие наступило, т.е..

Доказательство. Пусть наступлению события А благоприятствуют исходов из равновозможных, не совместных и единственно возможных. Тогда безусловная вероятность события А будет равна

.

Пусть далее из исходов, при которых наступает событие А, наступлению события В благоприятствуют исходов (). Тогда условная вероятность события В, вычисленная в предположении, что произошло событие А, будет равна

.

Вычислим теперь вероятность наступления событий и А, и В. Совместное наступление событий и А, и В может иметь место только в случаях из равновозможных. Следовательно,

.

Разделив и умножив эту дробь на, получим

.

 

Заметим, что.

 

Вероятность совместного наступления нескольких взаимозависимых событий (АВС…LК) равна произведению вероятности первого события на условную вероятность второго в предположении, что первое наступило, на условную вероятность третьего в предположении, что первые два наступили, и т.д., т.е.

 

 

Теорема. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, т.е..

Доказательство. Из доказанной теоремы следует. Так как события А и В независимы, то. Следовательно,.

Вероятность совместного появления нескольких независимых событий А, В, С,…,К равна произведению вероятностей этих событий, т.е.

.

Пример 3. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков – конусный, а второй – эллиптический.

Р е ш е н и е. Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие А),. Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик – конусный,. По теореме умножения,.

 

Теорема сложения вероятностей совместных событий

 

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Доказательство. Поскольку события А и В, по условию, совместны, то событие (А+В) наступит, если наступит одно из следующих трёх несовместных событий:, или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем:

(1)

Событие А произойдёт, если наступит одно из двух несовместных событий: или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий получим:

, откуда

(2)

Аналогично имеем, откуда

. (3)

Подставив (2) и (3) в (1), получим.

 

Объединяя доказанные теоремы, имеем:

 

 

 

Пример 4. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Р е ш е н и е. Попадание хотя бы одним из орудий означает: попадание либо первым орудием, либо вторым, либо обоями орудиями, а это по определению - сумма событий. Но так как события совместны и независимы, то

где

А – попадание первым орудием,

B – попадание вторым орудием,

 

 

Вероятность появления хотя бы одного события

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁, А₂, …,, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий,, …,, т.е..

Доказательство. Обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А₁, А₂, …,. События А и … (ни одно из событий не наступило) противоположны, значит, сумма их вероятностей равна единице: …) =1. Отсюда …) =) … p() =.

Замечание. Если события,, …, имеют одинаковую вероятность, равную

то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

.

 

Пример 5. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Р е ш е н и е. По теореме о вероятности появления хотя бы одного события имеем: =, где А – попадание хотя бы одним из орудий.