Гіпербола

Означення 6. Крива другого порядку (3.16)називається гіперболою, якщо коефіцієнт і рівняння (3.16) мають різні знаки, тобто < :

(3.21)

Якщо , то (рис.3.15).

Точки , де , є фокусами гіперболи. , де

Рисунок 3.15 є ексцентриситетом гіперболи.

Характеристична властивість гіперболи

Теорема 2. Для будь-якої точки гіперболи абсолютна величина різниці її фокальних радіусів, величина стала і дорівнює : .

Гіпербола має асимптоти .

Парабола

0

Означення 7. Крива (3.22) називається параболою з вершиною і параметром . Пряма – вісь симетрії параболи.

Для маємо (рис.3.16).

Точка – фокус параболи, а

– директриса параболи.

Рисунок 3.16

Характеристична властивість параболи

Теорема 3. Відстань від довільної точки параболи до фокуса дорівнює відстані до директриси, тобто .

Полярна система координат

Візьмемо на площині т. , яку назвемо полюсом. Проведемо з полюса напрямлену півпряму – полярну вісь, тоді довільна точка площини матиме координати , де – полярний радіус, що з’єднує полюс з точкою, а – полярний кут (рис.3.17).

,

, якщо проти руху годинникової стрілки.

 

Рисунок 3.17 , якщо за годинниковою стрілкою.

Зауваження. Кожній парі чисел відповідає єдина точка площини, але кожній точці площини – не єдина пара чисел.

Наприклад ; відповідає одна і та ж точка.

Зв'язок між прямокутними і полярними координатами:

Обернений зв'язок: , , , .