Решение. .

	-2	0	7	15
1	-2	0+1∙(-2)= -2	7+1∙(-2)= 5	15+1∙5= 20

Следовательно, Q₂(x)=-2x² - 2x +5, R=20. В результате имеем:

15 - 2x³ + 7x = (-2x^{2 2}- 2x +5)(x-1) + 20.

 

Теорема о тождественности многочленов. Многочлены P(x) и Q(x) тождественно равны (a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n b₀xⁿ+b₁x^n-1+…+b_n-1x+b_n) тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях x.

Число x₀ называется корнем многочлена P(x), если P(x₀)=0.

Теорема Безу. Число x₀ является корнем многочлена P(x) тогда и только тогда, когда P(x) без остатка делится на x-x₀, т.е. когда P(x) можно представить в виде P(x)=(x-x₀)∙Q(x)

Следствия: 1. Если x₁, …, x_n – корни многочлена P_n(x), то он представляется в виде P_n(x)=a₀(x-х₁)(x-x₂) … (x-x_n). 2. Остаток от деления многочлена P_n(x) на x-c равен числу P_n(c).

Подбор целого и рационального корней многочлена.

1. Если многочлен имеет целый корень, то этот корень находится среди делителей свободного члена этого многочлена.

2. Если многочлен имеет рациональный корень , то число m находится среди делителей свободного члена, а число n является делителем старшего коэффициента этого многочлена.

 

Задачи для самостоятельного решения.

№1. Разделить многочлен P(x)=4x⁴-16x³+3x²-5x+17 на многочлен Q(x)=2x²-3x+1.

№2. Разделить многочлен P(x)=x⁴+2x³-3x²-4x+1 на линейный многочлен Q(x)=x+1, пользуясь схемой Горнера.

№3. Разложить многочлен P(x)=2x⁴-5x³+3x²-x-2 на множители на множестве комплексных чисел.

№4. Разложить многочлен P(x)=6x⁴+11x³+26x²-9x-10 на множители на множестве комплексных чисел, если известны два его корня и .