Матрицы, таблицы характеров и представления

Графические изображения операций симметрии, приведенные в первой главе, вполне удовлетворительно описывают одиночные операции симметрии. Тем не менее, они становятся неудобными, если нам нужно рассматривать последовательные операции, и, что более важно, (they provide no stepping-off point) не обеспечивают непрерывность действий, если намнадо соотнести молекулярную симметрию с такими вопросами, как уровне энергии в молекуле и спектроскопия.

Поэтому нам нужно описание операций симметрии на более математическом языке. И первым шагом на этом пути является способность описывать и объединять операции симметрии с помощью использования матриц.

2.1 Введение в использование матриц – некоторые определения

Матрицы – это наборы тех или иных чисел или переменных, которые могут иметь

различные формы и размеры. 4 основных формы - это матрица-столбец, матрица-строка, квадратная матрица и прямоугольная матрица, примеры которых приведены ниже. Каждое число или переменная в матрице называется элементом матрицы, и его положение описывается системой координат, в которой первой указывается строка, начиная сверху, а вторым - столбец, начиная с левой стороны.

Таким образом, матрица W является матрицей-столбцом с тремя элементами W₁₁, W₂₁ и W₃₁, матрица X – матрица-строка с элементами X₁₁, X₁₂ и X₁₃. Квадратная матрица Y состоит из девяти элементов, и, следуя нашей системе отсчёта, мы можем определить, например, что элементы Y₂₂ и Y₃₁, это числа 4 и 6 соответственно. Точно так же Z квадратная матрица, состоящая в целом из шести элементов.

Матрицы находят широкое применение в различных областях науки. В Приложении III приведены несколько дополнительных источников материалов, которые подробно описывают свойства матриц.

При описании операций симметрии в данном пособии будут использоваться только два типа матриц – матрицы-столбцы и квадратные матрицы. При этом изначально мы должны знать только два дополнительных определения – диагонали матрицы и характера матрицы вместе с правилами, которые управляют умножением матриц.

Мы будем сталкиваться с понятиями «диагональ» и «характер» только для квадратных матриц, и хотя вообще говоря, квадрат имеет две диагонали, термин «диагональ» при применении непосредственно к матрице относится к главной диагонали, которая для матрицы М определяется элементами М₁₁, М₂₂, М₃₃ и т.д., то есть верх находится слева, а низ – справа.

Характер матрицы- -это сумма элементов её диагонали, которая обозначается символом χ. Для матрицы Y, например, χ равен 13.