Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел

 

I. Площадь плоской квадрируемой фигуры D (простого компакта в R²⁾ R² можно вычислить по формуле (см. главу 1, §1)

. (1)

y Отсюда, в частности, для правильного в направлении оси OY

D компакта D получаем известную формулу

(см. Рис. 1).

a b x

Рис.1

Пример 1. Вычислим площадь фигуры D, ограниченной линиями .

à 4 y=4x-x² Фигура D является правильным в направлении

оси OY компактом. Его проекция на ось OX

D есть отрезок [1;4].

0 1 2 4 x

x+y=4

Рис.2

Имеем:

¨

Пример 2. Вычислим площадь фигуры D, ограниченной линиями .

 

 

à y r = 4cosj Фигура D есть правильный в направлении лучей

j =const компакт, ограниченный линиями r =2cosj (линия

входа), r = 4cosj (линия выхода) и лучами

j = -p/2;j = p/2;

0 4 x Используя формулу (1) и переходя к полярным координатам

будем иметь:

r =2cosj

Рис.3

¨

II. Объем Q (простого компакта в R³) равен тройному интегралу (см.гл. 2, § 1):

. (2)

z

-

y

D

x

 

Рис.4

Пусть Q - правильный в направлении оси OZ компакт и D - его проекция на плоскость OXY). Если этот компакт ограничен поверхностями и (где функции непрерывны в D и и цилиндрической поверхностью с направляющей и образующей, параллельной оси OZ (см. Рис. 4), то

.

Отсюда непосредственно вытекает следующее утверждение, выражающее геометрический смысл двойного интеграла:

Если функция f (x; y) непрерывна и неотрицательна на простом компакте D, то криволинейное цилиндрическое тело (см.Рис.5), ограниченное плоскостью OXY, сверху – графиком функции z= f (x; y), а с боков – цилиндрической поверхностью с направляющей и образующей, параллельной оси OZ, имеет объем

. (3)

z

z= f (x; y),

 

 

y

D

x Рис. 5

Пример 3. Вычислим объем тела Q, ограниченного плоскостями и параболоидом .

 

à Тело Q - правильный в направлении оси компакт, его проекция на плоскость есть квадрат:

 

.

 

z y

 

4

D

 

0 4 y 0 4 x

4

x A(4;4) Рис.6

 

 

Имеем:

¨

Замечание. В ряде случаев объем тела Q можно вычислить с помощью определенного интеграла.

Например, , где – проекция тела Q на ось Ox, а - площадь фигуры, полученной при пересечении тела Q плоскостью, перпендикулярной оси Ox и проходящей через точку этой оси с абсциссой .

Упражнения

I. Вычислите площади плоских областей, ограниченных линиями:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5)

II. Вычислите объемы тел, ограниченных указанными поверхностями:

1) параболоидами и плоскостями

2) цилиндрами и плоскостями

3) сферой и параболоидом (внутренний по отношению к параболоиду;

4) параболоидом и сферой .