Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую

 

а) из 10–ой с/с в 2–ую систему счисления: 165; 541; 600; 720; 43,15; 234,99.

 

б) из 2–ой в 10–ую систему счисления: 110101₂; 11011101₂; 110001011₂; 1001001,111₂

 

в) из 2–ой с/с в 8–ую,16–ую с/с:

100101110₂; 100000111₂; 111001011₂; 1011001011₂; 110011001011₂; 10101,10101₂; 111,011₂

 

г) из 10–ой с/с в 8–ую, 16–ую с/с: 69; 73; 113; 203; 351; 641; 478,99; 555,555

 

д) из 8–ой с/с в 10–ую с/с: 35₈; 65₈; 215₈; 327₈; 532₈; 751₈; 45,454₈

 

е) из 16–ой с/с в 10–ую с/с: D8₁₆; 1AE₁₆; E57₁₆; 8E5₁₆; FAD₁₆; AFF,6A7₁₆

 

2. Выпишите целые десятичные числа, принадлежащие следующим чсловым промежуткам:

 

[10101₂; 110000₂]; [14₈; 20₈]; [18₁₆; 30₁₆]

 

3. Выполнить операции:

а) сложение в двоичной системе счисления

+ 10010011₂ + 1011101₂ + 10110011₂ +10111001,1₂

1011011₂ 11101101₂ 1010101₂ 10001101,1₂

 

б) вычитание в 2–ой системе счисления

– 100001000₂ – 110101110₂ – 11101110₂ -10111001,1₂

10110011₂ 10111111₂ 1011011₂ 10001101,1₂

 

в) умножение в 2–ой системе счисления

´ 100001₂ ´ 100101₂ ´ 111101₂ ´ 11001,01₂

111111₂ 111011₂ 111101₂ 11,01₂

 

г) деление в 2–ой системе счисления

1) 111010001001₂ / 111101₂

2) 100011011100₂ / 110110₂

3) 10000001111₂ / 111111₂

 

д) сложение 8–ых чисел

+ 715₈ + 524₈ + 712₈ + 321₈ + 5731₈ + 6351₈

73₈ 57₈ 763₈ 765₈ 1376₈ 737₈

 

е) вычитание 8–ых чисел

– 137₈ – 436₈ – 705₈ – 538₈ – 7213₈

72₈ 137₈ 76₈ 57₈ 537₈

 

ж) сложение 16–ых чисел

+ А13₁₆ + F0B₁₆ + 2EA₁₆ + ABC₁₆ + A2B₁₆

16F₁₆ 1DA₁₆ FCE₁₆ C7C₁₆ 7F2₁₆

 

з) вычитание 16–ых чисел

– À17₁₆ – DFA₁₆ – FO5₁₆ – DE5₁₆ – D3C1₁₆

1FС₁₆ 1AE₁₆ AD₁₆ AF₁₆ D1F₁₆

 

4. Вычислите выражение:

 

(1111101₂ + AF₁₆) / 36₈; 125₈ + 11101₂ ´ A2₁₆ / 1417₈

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1. Системы счисления

Система счисления, или просто счисление, или нумерация,— набор конкретных знаков–цифр вместе с системой приемов записи, которая представляет числа этими цифрами.

Цель работы – приобретение навыков выполнения операций в различных системах счисления.

 

Основные понятия систем счисления

 

Система счисления — это совокупность правил и приемов записи чисел с помощью набора цифровых знаков. Количество цифр, необходимых для записи числа в системе, называют основанием системы счисления. Основание системы записывается в справа числа в нижнем индексе: .

Различают два типа систем счисления:

- позиционные, когда значение каждой цифры числа определяется ее позицией в записи числа;

- непозиционные, когда значение цифры в числе не зависит от ее места в записи числа.

Примером непозиционной системы счисления является римская: числа IX, IV, XV и т.д. Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая повседневно.

Любое целое число в позиционной системе можно записать в форме многочлена:

,

где — основание системы счисления;

— цифры числа, записанного в данной системе счисления;

n — количество разрядов числа.

Пример. Число запишется в форме многочлена следующим образом:

Десятичная система счисления – в настоящее время наиболее известная и используемая. неправильное название удерживается и поныне.

Десятичная система использует десять цифр —– 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также символы “+” и “–” для обозначения знака числа и запятую или точку для разделения целой и дробной частей числа.

В вычислительных машинах используется двоичная система счисления, её основание — число 2. Для записи чисел в этой системе используют только две цифры — 0 и 1.

Таблица 1. Соответствие чисел, записанных в различных системах счисления

Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная
			A
			B
			C
			D
			E
			F

 

Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую

Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.

1. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:

Таблица 2. Степени числа 2

n

Пример. Число перевести в десятичную систему счисления.

2. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:

Таблица 3.4. Степени числа 8

n

 

Пример. Число перевести в десятичную систему счисления.

3. Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:

Таблица 3. Степени числа 16

n

 

Пример. Число перевести в десятичную систему счисления.

4. Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.

5. Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число перевести в восьмеричную систему счисления.

6. Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

7. Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).

Пример. Число перевести в восьмеричную систему счисления.

8. Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).

Пример. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

9. Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой.

Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.

10. Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.

Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.

11. При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.

Пример 1. Число перевести в восьмеричную систему счисления.

Пример 2. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

 

3. Арифметические действия над целыми числами в 2-ой системе счисления:

1.Операция сложения выполняется с использованием таблицы двоичного сложения в одном разряде: Пример. а) +10012 б) +11012 в) +111112 10102 10112 12 100112 110002 1000002 2.Операция вычитания выполняется с использованием таблицы вычитания, в которой 1 обозначается заем в старшем разряде. 0 – 0 = 0 1 – 0 = 1 1 – 1 = 0 10 – 1 = 1. Пример. а) –1011100112 б) –1101011012 1000110112 1010111112 0010110002 0010011102 3.Операция умножения выполняется по обычной схеме, применяемой в десятичной с/с с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.   0 X 0 = 0 0 X 1 = 0 1 X 1 = 1   Пример. б) ´ 1012 112 11112   4.Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в 10–ой с/с. Пример. 1010001012 11012 1101 110012