Ранг матрицы. Свойства.

Пусть задана матрица А размерности m×n. А= .

Выделим в ней К строк и К столбцов, где К≤ min (m, n).элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка К. Определитель этой матрицы называют минором К-го порядка матрицы А.

Определ. Рангом матрицы называется наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля. Обозначения: rang A, r (A), r_A.

Если ранг матрицы А равен r, то это означает, что у матрицы А есть минор порядка r, отличный от нуля, а все остальные миноры (r+1)-го порядка равны нулю или миноров такого порядка вообще нет. В этом случае минор r-го порядка, отличный от нуля, называется базисным минором. Строки и столбцы на пересечении которых находится базисный минор, называются базисными строками и базисными столбцами.

Пример. Найти ранг матрицы и указать несколько базисных миноров:

А=

Решение. Определитель данной квадратной матрицы третьего порядка равен 0: значит, ранг матрицы А не может быть равен трем. Поскольку среди миноров второго порядка имеется не равный нулю, например, то ранг матрицы равен двум: r(A)=2, а этот минор является базисным. Он является не единственным базисным минором. Можно указать еще миноры второго порядка (как и ранг исходной матрицы), которые также отличны от нуля.

Свойства ранга матрицы.

1. Ранг матрицы при ее транспонировании не меняется.

2. Ранг матрицы не изменится, если вычеркнуть или приписать нулевую строку (или столбец).

3. Ранг матрицы, полученный из данной элементарными преобразованиями, равен рангу исходной матрицы.

4. Ранг матрицы не изменится, если к ней приписать или вычеркнуть из нее строку (столбец), являющуюся линейной комбинацией других строк.